ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 586 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (586-587).

1. arcsin0;
2. arcsin1;
3. arcsin корень 3/2;
4. arcsin1/2;
5. arcsin(-корень 2/2);
6. arcsin(- корень 3/2).

1. $\arcsin 0 = 0$;
2. $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$;
3. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$;
4. $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$;
5. $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4}$;
6. $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$

Задача: Решить значения арксуина для различных аргументов.

Мы знаем, что арксинус ($\arcsin$) является функцией, которая возвращает угол $x$, для которого выполняется равенство:

$$\sin x = y,$$

где $y$ — значение аргумента функции $\arcsin$, и угол $x$ находится в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Теперь давайте подробно рассмотрим решение каждого из этих выражений.

1) $\arcsin 0 = 0$

Шаг 1: Определение арксинуса

Для того, чтобы решить $\arcsin 0$, нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = 0$. Арксинус — это функция, которая даёт значение угла $x$, когда $\sin x = y$.

Шаг 2: Найдем угол

Решим уравнение:

$$\sin x = 0.$$

Это уравнение имеет решение в точках $x = 0 + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Однако арксинус ограничен интервалом $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому единственное решение в этом интервале:

$$x = 0.$$

Ответ:

$$\arcsin 0 = 0.$$

2) $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Определение арксинуса

Нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = 1$.

Шаг 2: Найдем угол

Решим уравнение:

$$\sin x = 1.$$

Решение этого уравнения — угол $x = \frac{\pi}{2}$, поскольку именно в этой точке синус достигает максимального значения 1, и $x$ лежит в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}.$$

3) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Определение арксинуса

Нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Найдем угол

Знаем, что значение $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и это значение находится в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

4) $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Определение арксинуса

Нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Найдем угол

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, и это значение лежит в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно:

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

5) $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Определение арксинуса

Нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Найдем угол

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку аргумент у нас отрицательный, то соответствующий угол будет:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Этот угол будет в нижней части интервала $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и он равен $-\frac{\pi}{4}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}.$$

6) $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Определение арксинуса

Нужно найти угол $x$, для которого $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Найдем угол

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку аргумент у нас отрицательный, то соответствующий угол будет:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Этот угол будет в нижней части интервала $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и он равен $-\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Общий итог:

1. $\arcsin 0 = 0$;
2. $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$;
3. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$;
4. $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$;
5. $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$
6. $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}$.

Детали решения:

1. Мы использовали определение функции арксинуса: $\arcsin y = x$, где $x$ — угол, для которого $\sin x = y$, и $x$ лежит в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
2. Для каждого значения аргумента $y$ мы нашли угол $x$, который удовлетворяет уравнению $\sin x = y$, используя известные значения синуса для углов из стандартного круга.
3. Поскольку арксинус имеет ограничения по интервалу, решения были выбраны таким образом, чтобы угол $x$ всегда лежал в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, как того требует определение функции арксинуса.