ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 585 Алимов — Подробные Ответы

С помощью микрокалькулятора решить уравнение:

1. cos х = 0,35;
2. cos х = -0,27.

1. $\cos x=0,35$;
   $x=\pm \arccos 0,35+2\pi n$;
   $x\approx \pm 1,2132+2\pi n$;
2. $\cos x=-0,27$;
   $x=\pm (\pi -\arccos 0,27)+2\pi n$;
   $x\approx \pm (3,1415-1,2974)+2\pi n$;
   $x\approx \pm 1,8441+2\pi n$.

Задача: Решить уравнения для $x$, если заданы значения косинуса.

1) $\cos x=0,35$

Шаг 1: Используем определение арккосинуса

Мы знаем, что для любого значения $y$, которое лежит в диапазоне $[-1,1]$, можно найти угол $x=\arccos y$, который удовлетворяет:

$$\cos x=y\mathrm{.}$$

В нашем случае $\cos x=0,35$, то есть:

$$x=\arccos 0,35.$$

Шаг 2: Нахождение значения арккосинуса

Для нахождения $\arccos 0,35$, можно воспользоваться калькулятором:

$$\arccos 0,35\approx 1,2132.$$

Этот угол является основным значением, которое лежит в интервале от 0 до $\pi$ (так как арккосинус определен на этом интервале).

Шаг 3: Общее решение

Так как косинус функции $x$ периодичен с периодом $2\pi$, для полного решения необходимо учесть все возможные значения угла, которые могут удовлетворять условию $\cos x=0,35$. Косинус положителен в двух местах на одном периоде:

1. В первом квадранте, где $x=\arccos 0,35$,
2. Во втором квадранте, где $\cos x=0,35$ тоже будет выполнено, но угол $x$ будет отрицательным: $x=-\arccos 0,35$.

Таким образом, общее решение будет:

$$x=\pm \arccos 0,35+2\pi n,$$

где $n$ — любое целое число, которое учитывает периодичность косинуса.

Шаг 4: Подставим значение арккосинуса

Мы уже знаем, что $\arccos 0,35\approx 1,2132$. Подставим это значение в общее решение:

$$x=\pm 1,2132+2\pi n\mathrm{.}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos x=0,35$ выглядит так:

$$x\approx \pm 1,2132+2\pi n\mathrm{.}$$

2) $\cos x=-0,27$

Шаг 1: Используем определение арккосинуса

Аналогично первому случаю, мы знаем, что:

$$\cos x=-0,27⟹x=\arccos (-0,27)\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение значения арккосинуса

Для нахождения $\arccos (-0,27)$ можно использовать калькулятор:

$$\arccos (-0,27)\approx 1,2974.$$

Этот угол $1,2974$ лежит в интервале $[0,\pi ]$, так как арккосинус на этом интервале принимает значения для $y\in [-1,1]$.

Шаг 3: Общее решение

Так как $\cos x=-0,27$ и косинус отрицателен в двух местах на одном периоде:

1. В верхней полуплоскости, где $\cos x=-0,27$, угол будет находиться во втором квадранте, то есть:$$x=\pi -\arccos 0,27.$$
2. В нижней полуплоскости, где $\cos x=-0,27$ также может быть выполнено, угол будет симметричен по оси $x$:$$x=-(\pi -\arccos 0,27)\mathrm{.}$$

Таким образом, общее решение будет:

$$x=\pm (\pi -\arccos 0,27)+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 4: Подставим значение арккосинуса

Подставим числовое значение $\arccos 0,27\approx 1,2974$ в общее решение:

$$x=\pm (\pi -1,2974)+2\pi n\mathrm{.}$$

Теперь вычислим:

$$\pi \approx 3,1415,$$

и получим:

$$x=\pm (3,1415-1,2974)+2\pi n\approx \pm 1,8441+2\pi n\mathrm{.}$$

Таким образом, решение уравнения $\cos x=-0,27$ будет:

$$x\approx \pm 1,8441+2\pi n\mathrm{.}$$

Ответ:

Для уравнения $\cos x=0,35$ решение:

$$x\approx \pm 1,2132+2\pi n\mathrm{.}$$

Для уравнения $\cos x=-0,27$ решение:

$$x\approx \pm 1,8441+2\pi n\mathrm{.}$$

Подробное объяснение:

1. Для $\cos x=0,35$ мы использовали стандартное определение арккосинуса для нахождения основного значения угла, а затем учли периодичность функции косинус, которая повторяется каждые $2\pi$.
2. Для $\cos x=-0,27$ мы также использовали арккосинус и взяли во внимание, что косинус отрицателен в верхней и нижней полуплоскостях, поэтому общее решение включало два выражения с $\pm$.