ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 584 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если -1 < = а < = 1, то 2 arccos корень((1+a)/2)=arccosa.

Доказать тождество, если $-1 \leq a \leq 1$:

$$2\arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a;$$

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a;$$ $$2\arccos \sqrt{\frac{1+\cos (\arccos a)}{2}}=\arccos a;$$

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + \cos(\arccos a)}{2}} = \arccos a;$$ $$2\arccos \sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\arccos a}{2}\right)}=\arccos a;$$

$$2 \arccos \sqrt{\cos^2\left(\frac{\arccos a}{2}\right)} = \arccos a;$$ $$2\arccos (\cos \left(\frac{\arccos a}{2}\right))=\arccos a;$$

$$2 \arccos \left(\cos\left(\frac{\arccos a}{2}\right)\right) = \arccos a;$$ $$2\cdot \frac{\arccos a}{2}=\arccos a;$$

$$2 \cdot \frac{\arccos a}{2} = \arccos a;$$ $$\arccos a = \arccos a;$$

Тождество доказано.

Задача: Доказать тождество, если $-1 \leq a \leq 1$:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a.$$

Шаг 1: Введем обозначения и начнем преобразования

Рассмотрим исходное тождество:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a.$$

Нашей целью является доказать это тождество. Для этого будем использовать некоторые тригонометрические и алгебраические преобразования.

Пусть $\theta = \arccos a$. Тогда, по определению арккосинуса, у нас:

$$\cos \theta = a \quad \text{и} \quad 0 \leq \theta \leq \pi.$$

Таким образом, мы можем заменить $\arccos a$ на $\theta$:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \theta.$$

Шаг 2: Используем тригонометрическое преобразование для арккосинуса

Теперь преобразуем левую часть выражения, используя тригонометрические формулы. Мы знаем, что:

$$2 \arccos x = \arccos(2x^2 — 1),$$

где $x = \sqrt{\frac{1 + a}{2}}$. Подставим это в исходное выражение:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos \left( 2 \left( \frac{1 + a}{2} \right) — 1 \right).$$

Упростим выражение внутри арккосинуса:

$$2 \left( \frac{1 + a}{2} \right) — 1 = 1 + a — 1 = a.$$

Таким образом, мы получаем:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a.$$

Шаг 3: Подтверждение тождества

Мы видим, что после преобразований правая и левая части выражения совпадают, то есть:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a.$$

Это тождество доказано.

Шаг 4: Рассмотрим другие представления тождества

1. В исходном выражении можно также записать $\cos(\arccos a) = a$, что является следствием определения арккосинуса.
2. Далее, мы могли бы рассмотреть альтернативное представление, например:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + \cos(\arccos a)}{2}} = \arccos a.$$

Поскольку $\cos(\arccos a) = a$, это выражение также сводится к:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a.$$

Так что мы приходим к тому же результату.

Шаг 5: Проверка последовательности преобразований

Каждый шаг преобразования был логичен и следовал из стандартных тригонометрических тождеств. Мы использовали:

• определение арккосинуса,
• формулы для удвоенного угла,
• тригонометрические тождества.

Тождество действительно выполняется при $-1 \leq a \leq 1$, так как арккосинус определен на этом интервале.

Ответ:

Тождество доказано, и результат:

$$2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} = \arccos a$$

верен для всех $a \in [-1, 1]$.