ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 583 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение cos (2 arccos а), если -1 < = а < = 1.

Упростить выражение $\cos(2 \operatorname{arccos} a)$, если $-1 \leq a \leq 1$:

$$\cos (2\arccos a)={\cos }^2(\arccos a)-{\sin }^2(\arccos a)=$$

$$\cos(2 \operatorname{arccos} a) = \cos^2(\operatorname{arccos} a) — \sin^2(\operatorname{arccos} a) =$$ $$= a^2 — (1 — \cos^2(\operatorname{arccos} a)) = a^2 — (1 — a^2) = a^2 — 1 + a^2 = 2a^2 — 1;$$

Ответ: $2a^2 — 1$.

Задача: Упростить выражение $\cos(2 \operatorname{arccos} a)$, если $-1 \leq a \leq 1$.

Шаг 1: Используем формулу для косинуса удвоенного угла

Для того чтобы упростить выражение $\cos(2 \operatorname{arccos} a)$, воспользуемся стандартной тригонометрической формулой для косинуса удвоенного угла:

$$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) — \sin^2(\theta),$$

где $\theta = \operatorname{arccos} a$. Тогда выражение можно переписать как:

$$\cos(2 \operatorname{arccos} a) = \cos^2(\operatorname{arccos} a) — \sin^2(\operatorname{arccos} a).$$

Шаг 2: Преобразуем каждый член

1. Член $\cos^2(\operatorname{arccos} a)$:
   Так как $\operatorname{arccos} a$ — это угол, косинус которого равен $a$, то:

   $$\cos(\operatorname{arccos} a) = a.$$

   Следовательно:

   $$\cos^2(\operatorname{arccos} a) = a^2.$$

2. Член $\sin^2(\operatorname{arccos} a)$:
   Мы знаем, что для любого угла $\theta$:

   $$\sin^2(\theta) = 1 — \cos^2(\theta).$$

   Таким образом:

   $$\sin^2(\operatorname{arccos} a) = 1 — \cos^2(\operatorname{arccos} a) = 1 — a^2.$$

Шаг 3: Подставляем полученные выражения

Теперь подставим найденные выражения для $\cos^2(\operatorname{arccos} a)$ и $\sin^2(\operatorname{arccos} a)$ в исходную формулу для $\cos(2 \operatorname{arccos} a)$:

$$\cos(2 \operatorname{arccos} a) = a^2 — (1 — a^2).$$

Шаг 4: Упростим выражение

Раскроем скобки:

$$\cos(2 \operatorname{arccos} a) = a^2 — 1 + a^2.$$

Теперь объединим подобные слагаемые:

$$\cos(2 \operatorname{arccos} a) = 2a^2 — 1.$$

Ответ:

$$\boxed{2a^2 — 1}.$$

Детализация шагов:

1. Шаг 1: Применение формулы для косинуса удвоенного угла — это стандартный трюк, который позволяет упростить выражение, когда в аргументе косинуса есть функция арккосинуса.
2. Шаг 2: Преобразование каждого члена по известным тригонометрическим формулам. Мы использовали основной факт о том, что $\cos(\operatorname{arccos} a) = a$ и что $\sin^2 \theta = 1 — \cos^2 \theta$.
3. Шаг 3: Подстановка этих выражений в формулу и приведение подобных членов, что приводит к окончательному упрощению.