ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 581 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что arccos (cos а) = а при 0 < = а < = пи. Вычислить:

1. 5arccos (cosпи/10);
2. 3 arccos (cos 2);
3. arccos (cos8пи/7);
4. arccos (cos 4).

По определению арккосинуса:

$$\operatorname{arccos} a = x, \text{ если } \cos x = a \text{ и } 0 \leq x \leq \pi;$$

Следовательно, выполняется равенство:

$$\operatorname{arccos}(\cos x) = \operatorname{arccos} a = x;$$

1. $5 \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{10}\right) = 5 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{2};$
2. $3 \operatorname{arccos}(\cos 2) = 3 \cdot 2 = 6;$
3. $\operatorname{arccos}\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right) = \operatorname{arccos}\left(\cos \left(\pi + \frac{\pi}{7}\right)\right) = \operatorname{arccos}\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right) =$
   $= \pi — \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{7}\right) = \pi — \frac{\pi}{7} = \frac{6\pi}{7};$
4. $\operatorname{arccos}(\cos 4) = \operatorname{arccos}(\cos (\pi + 4 — \pi)) = \operatorname{arccos}(-\cos (4 — \pi)) =$
   $= \pi — \operatorname{arccos}(\cos (4 — \pi)) = \pi — (4 — \pi) = \pi — 4 + \pi = 2\pi — 4;$

Вспомним определения и важные факты:

Арккосинус — это функция, которая при заданном значении $a$ (где $-1 \leq a \leq 1$) находит угол $x$, такой что $\cos x = a$ и $0 \leq x \leq \pi$. Формально:

$$\operatorname{arccos} a = x, \quad \text{если} \quad \cos x = a \quad \text{и} \quad 0 \leq x \leq \pi.$$

Свойства арккосинуса:

• Для любого угла $x$, который лежит в интервале от 0 до $\pi$ (включительно), верно:
• $$\operatorname{arccos}(\cos x) = x.$$
• Если $x$ выходит за этот интервал (например, $x > \pi$ или $x < 0$), то необходимо использовать тригонометрические преобразования для приведения угла к интервалу от 0 до $\pi$.

Теперь давайте разберем каждое из предложенных выражений по шагам.

1. $5 \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{10}\right)$

Шаг 1: По свойству арккосинуса, если $x = \frac{\pi}{10}$, то:

$$\operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{10}, \quad \text{так как} \quad \frac{\pi}{10} \in [0, \pi].$$

Шаг 2: Теперь умножим на 5:

$$5 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

$$5 \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{2}.$$

2. $3 \operatorname{arccos}(\cos 2)$

Шаг 1: Рассмотрим $x = 2$. Поскольку $2 \in [0, \pi]$, то:

$$\operatorname{arccos}(\cos 2) = 2.$$

Шаг 2: Теперь умножим на 3:

$$3 \cdot 2 = 6.$$

Ответ:

$$3 \operatorname{arccos}(\cos 2) = 6.$$

3. $\operatorname{arccos}\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)$

Шаг 1: Рассмотрим угол $x = \frac{8\pi}{7}$. Этот угол больше $\pi$, поэтому его нужно привести к интервалу $[0, \pi]$.

Шаг 2: $\frac{8\pi}{7}$ можно записать как:

$$\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}.$$

Теперь используем свойство косинуса для углов $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$:

$$\cos\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\cos\frac{\pi}{7}.$$

Шаг 3: Подставляем в арккосинус:

$$\operatorname{arccos}\left(\cos \left(\pi + \frac{\pi}{7}\right)\right) = \operatorname{arccos}\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right).$$

По свойству арккосинуса $\operatorname{arccos}(-a) = \pi — \operatorname{arccos}(a)$, получаем:

$$\operatorname{arccos}\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right) = \pi — \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{7}\right).$$

Шаг 4: Поскольку $\operatorname{arccos}(\cos \frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$, получаем:

$$\pi — \frac{\pi}{7} = \frac{6\pi}{7}.$$

Ответ:

$$\operatorname{arccos}\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right) = \frac{6\pi}{7}.$$

4. $\operatorname{arccos}(\cos 4)$

Шаг 1: Рассмотрим угол $x = 4$. Этот угол больше $\pi$, поэтому его нужно привести к интервалу $[0, \pi]$.

Шаг 2: Разделим $4$ на сумму $\pi$ и некоторого угла:

$$4 = \pi + (4 — \pi).$$

Заменим $4$ на $\pi + (4 — \pi)$. Теперь воспользуемся свойством косинуса для углов $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$:

$$\cos(4) = \cos\left(\pi + (4 — \pi)\right) = -\cos(4 — \pi).$$

Шаг 3: Подставляем это в арккосинус:

$$\operatorname{arccos}(\cos 4) = \operatorname{arccos}\left(-\cos(4 — \pi)\right).$$

По свойству арккосинуса $\operatorname{arccos}(-a) = \pi — \operatorname{arccos}(a)$, получаем:

$$\operatorname{arccos}(-\cos(4 — \pi)) = \pi — \operatorname{arccos}(\cos(4 — \pi)).$$

Шаг 4: Так как $\operatorname{arccos}(\cos(4 — \pi)) = 4 — \pi$, то:

$$\pi — (4 — \pi) = \pi — 4 + \pi = 2\pi — 4.$$

Ответ:

$$\operatorname{arccos}(\cos 4) = 2\pi — 4.$$

Итоговые ответы:

1. $5 \operatorname{arccos}\left(\cos \frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{2}.$
2. $3 \operatorname{arccos}(\cos 2) = 6.$
3. $\operatorname{arccos}\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right) = \frac{6\pi}{7}.$
4. $\operatorname{arccos}(\cos 4) = 2\pi — 4.$