ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 580 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что при всех значениях а, таких, что -1 < = а < = 1, выполняется равенство cos (arccos а) = а. Вычислить:

1. cos(arccos0,2);
2. cos(arccos(-2/3));
3. cos(пи+ arccos3/4);
4. sin(пи/2 + arccos1/3);
5. sin(arccos 4/5);
6. tg(arccos 3/корень 10).

По определению арккосинуса:

$$\arccos a = x, \text{ если } \cos x = a \text{ и } 0 \leq x \leq \pi;$$

Пусть $a$ — положительное число, тогда:

$$\cos(\arccos a) = \cos x = a;$$ $$\cos(\arccos(-a)) = \cos(\pi — \arccos(a)) = \cos(\pi — x) = -\cos x = -a;$$

1. $\cos(\arccos 0,2) = 0,2$;
2. $\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$;
3. $\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}$;
4. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$;
5. $\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \sqrt{1 — \cos^2\left(\arccos\frac{4}{5}\right)} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$;
6. $\tg\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)} — 1} = \sqrt{1 : \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 — 1} = \sqrt{\frac{10}{9} — 1} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Введение

Арккосинус $\arccos a$ — это обратная функция к косинусу, определённая на промежутке $0 \leq x \leq \pi$, и удовлетворяющая условию:

$$\arccos a = x \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x = a, \quad x \in [0, \pi].$$

Общие свойства

Пусть $a > 0$. Тогда:

$$\cos(\arccos a) = a.$$

Для отрицательных аргументов $a < 0$, используя тригонометрическое тождество:

$$\cos(\arccos(-a)) = \cos(\pi — \arccos a) = -\cos(\arccos a) = -a.$$

Решение пунктов

1) $\cos(\arccos 0{,}2)$

Используем определение:

$$\cos(\arccos 0{,}2) = 0{,}2.$$

Это прямая подстановка, так как арккосинус — обратная функция к косинусу.

2) $\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$

По свойствам арккосинуса:

$$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}.$$

3) $\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right)$

Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta,$$

но проще применить периодичность и знак косинуса:

$$\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta.$$

Поэтому:

$$\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos \frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}.$$

4) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right)$

Используем тождество синуса суммы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta.$$

Подставляем:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}.$$

5) $\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right)$

Поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то

$$\sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x}.$$

Подставим:

$$\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right) = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

6) $\tg\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

Известно, что

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x} — 1}.$$

Подставим:

$$\tan\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2} — 1} = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{10}} — 1} = \sqrt{\frac{10}{9} — 1} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}.$$

Итог: