ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 577 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения cos2x=1/2 на отрезке [-пи/2; 5пи/2].

$$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Все корни уравнения на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \right]$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3};$$ $$x_4 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3};$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3};$$ $$x_6 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3};$$

Дано уравнение:

$$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1: Найти общий вид решений уравнения $\cos \theta = a$

Для уравнения

$$\cos \theta = a,$$

решения имеют вид:

$$\theta = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Найти $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$

Аргумент уравнения — $-\frac{1}{2}$. Используем свойства косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Отсюда:

$$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 3: Запишем общее решение для $2x$

$$2x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Выразим $x$

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Найти все корни на отрезке

$$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \right]$$

Шаг 6: Подставляем разные значения $n$ для положительной ветви

Пусть

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

• При $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{3} — \pi = \frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 2$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 > \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 \Rightarrow \text{принадлежит}$$

• При $n = 3$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} > \frac{5\pi}{2}$$

Шаг 7: Подставляем разные значения $n$ для отрицательной ветви

Пусть

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

• При $n = 0$:

$$x = -\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 2$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$

• При $n = 3$:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 > \frac{5\pi}{2}$$

Итог: Все корни на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3};$$ $$x_3 = \frac{2\pi}{3};$$ $$x_4 = \frac{4\pi}{3};$$ $$x_5 = \frac{5\pi}{3};$$ $$x_6 = \frac{7\pi}{3}.$$

Проверка каждого корня на принадлежность отрезку:

• $-\frac{\pi}{3} \approx -1.05$, а $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ → входит.
• $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$ → входит.
• $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$ → входит.
• $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ → входит.
• $\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$ → входит.
• $\frac{7\pi}{3} \approx 7.33$ → входит, поскольку $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$.