ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 572 Алимов — Подробные Ответы

1. cosx=3/4;
2. cosx=-0,3;
3. cosx=-корень 3/3.

1. $\cos x = \frac{3}{4}$;
   $x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n$;
2. $\cos x = -0.3$;
   $x = \pm (\pi — \arccos 0.3) + 2\pi n$;
3. $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
   $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + 2\pi n$

1) Уравнение:

$$\cos x = \frac{3}{4}$$

Шаг 1. Определяем область значений. Поскольку $\frac{3}{4} = 0.75$ — число из интервала $[-1,1]$, уравнение имеет решение.

Шаг 2. Значение $\cos x = \frac{3}{4}$ не является стандартным углом с известным точным значением, поэтому мы используем арккосинус для выражения решения.

Шаг 3. Определяем общий вид решения тригонометрического уравнения $\cos x = a$, где $a \in [-1,1]$:

$$x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это связано с тем, что косинус — чётная функция и периодична с периодом $2\pi$.

Шаг 4. Подставляем $a = \frac{3}{4}$:

$$x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 5. Если нужно численное приближение, вычисляем:

$$\arccos \frac{3}{4} \approx 0.7227 \text{ радиан}.$$

Тогда:

$$x \approx \pm 0.7227 + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}.$$

2) Уравнение:

$$\cos x = -0.3$$

Шаг 1. Проверяем, входит ли $-0.3$ в интервал $[-1,1]$. Да, значит решение существует.

Шаг 2. Косинус отрицателен, значит решения находятся во II и III квадрантах.

Шаг 3. Используем свойство:
Если $\cos x = -a$, где $a > 0$, то

$$x = \pm (\pi — \arccos a) + 2\pi n.$$

Это потому, что $\arccos a$ — угол в I квадранте, а $\pi — \arccos a$ — угол во II квадранте с таким же значением косинуса по абсолютной величине, но с отрицательным знаком.

Шаг 4. Подставляем $a = 0.3$:

$$x = \pm (\pi — \arccos 0.3) + 2\pi n.$$

Шаг 5. Численное приближение:

$$\arccos 0.3 \approx 1.2661.$$

Тогда:

$$\pi — \arccos 0.3 \approx 3.1416 — 1.2661 = 1.8755.$$

Общее решение:

$$x \approx \pm 1.8755 + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm (\pi — \arccos 0.3) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}.$$

3) Уравнение:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 1. Проверяем значение $-\frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1.732}{3} \approx 0.577,$$

значит

$$-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577,$$

входит в $[-1,1]$, решения существуют.

Шаг 2. Аналогично предыдущему случаю, для отрицательного значения:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + 2\pi n.$$

Шаг 3. Найдём приближённое значение $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\arccos 0.577 \approx 0.9553.$$

Шаг 4. Вычислим:

$$\pi — 0.9553 = 3.1416 — 0.9553 = 2.1863.$$

Шаг 5. Общий вид решения:

$$x \approx \pm 2.1863 + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}.$$