ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 568 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (568—569)

1. arccos0;
2. arccos1;
3. arccos корень 2/2;
4. arccos1/2;
5. arccos(-корень 3/2);
6. arccos(- корень 2/2).

1. $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$;
2. $\arccos 1 = 0$;
3. $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$;
4. $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$;
5. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$;
6. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Арккосинус — это обратная функция к косинусу. То есть:

$$\arccos x = \theta \quad \Leftrightarrow \quad \cos \theta = x, \quad \theta \in [0, \pi]$$

Мы ищем такие значения $\theta$ на промежутке $[0, \pi]$, при которых $\cos \theta = x$.

1) $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$

Обоснование:

• Нам нужно найти такое $\theta$, при котором $\cos \theta = 0$.
• $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots$
• Но $\arccos$ возвращает значение только из отрезка $[0, \pi]$
• Следовательно:

  $$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

2) $\arccos 1 = 0$

Обоснование:

• $\cos \theta = 1$ при $\theta = 0, 2\pi, \ldots$
• Из отрезка $[0, \pi]$ только $\theta = 0$ подходит.
• Следовательно:

  $$\arccos 1 = 0$$

3) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Обоснование:

• Нужно найти $\theta \in [0, \pi]$, при котором $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Табличное значение: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Следовательно:

  $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

4) $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$

Обоснование:

• $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
• $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$, подходит
• Следовательно:

  $$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

5) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Подробный разбор:

• Табличное значение: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• Значит: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$
• Косинус — чётная функция: $\cos(\pi — x) = -\cos x$
• Тогда:

  $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$= \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

6) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подробный разбор:

• Табличное значение: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Значит: $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$
• Используем:

  $$\arccos(-x) = \pi — \arccos x$$

• Тогда:

  $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

ИТОГ: