ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 567 Алимов — Подробные Ответы

1. sin6a + cos6a= 1/8(5+3cos4a);
2. sin8 a + cos8 a = — 1/32(cos2 4a + 14 cos 4a + 17).

$\sin^6 a + \cos^6 a = \frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4a)$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^6 a + \cos^6 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^3 — 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) =$$ $$= 1^3 — 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1 — 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a;$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4a) = \frac{1}{8}(5(\cos^2 2a + \sin^2 2a) + 3(\cos^2 2a — \sin^2 2a)) =$$ $$= \frac{1}{8}(8 \cos^2 2a + 2 \sin^2 2a) = \frac{1}{8}(6 \cos^2 2a + 2) = \frac{1}{4}(3 \cos^2 2a + 1) =$$ $$= \frac{1}{4}(1 + 3(\cos^2 a — \sin^2 a)^2) = \frac{1}{4}(1 + 3(\cos^4 a + \sin^4 a — 2 \cos^2 a \cdot \sin^2 a)) =$$ $$= \frac{1}{4}(1 + 3(\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 12 \cos^2 a \cdot \sin^2 a) =$$ $$= \frac{1}{4}(1 + 3 — 12 \cos^2 a \cdot \sin^2 a) = 1 — 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a;$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

$\sin^8 a + \cos^8 a = \frac{1}{32}(\cos^2 4a + 14 \cos 4a + 17)$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^8 a + \cos^8 a = (\sin^8 a + \cos^8 a + 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a) — 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a =$$ $$= (\sin^4 a + \cos^4 a)^2 — 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a =$$ $$= ((\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a)^2 — 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a =$$ $$= ((1^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a)^2 — 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a =$$ $$= 1 — \sin^2 2a + 2 \sin^4 a \cdot \cos^4 a = 1 — \sin^2 2a + \frac{1}{8} \sin^4 2a =$$ $$= 1 — \frac{1}{2}(1 — \cos 4a) + \frac{1}{32}(1 — \cos 4a)^2 =$$ $$= 1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 4a + \frac{1}{32} — \frac{2}{32} \cos 4a + \frac{1}{32} \cos^2 4a =$$ $$= \frac{32}{32} — \frac{16}{32} + \frac{1}{32} + \frac{16}{32} \cos 4a — \frac{2}{32} \cos 4a + \frac{1}{32} \cos^2 4a =$$ $$= \frac{17}{32} + \frac{14}{32} \cos 4a + \frac{1}{32} \cos^2 4a = \frac{1}{32}(17 + 14 \cos 4a + \cos^2 4a);$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

1) Тождество:

$$\sin^6 a + \cos^6 a = \frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4a)$$

ШАГ 1: ЛЕВАЯ ЧАСТЬ — формула суммы шестых степеней

Используем формулу:

$$x^3 + y^3 = (x + y)^3 — 3xy(x + y)$$

Применим к $x = \sin^2 a, \; y = \cos^2 a$:

$$\sin^6 a + \cos^6 a = (\sin^2 a)^3 + (\cos^2 a)^3 = (\sin^2 a + \cos^2 a)^3 — 3 \sin^2 a \cos^2 a (\sin^2 a + \cos^2 a)$$

Так как:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1,$$

получаем:

$$= 1^3 — 3 \sin^2 a \cos^2 a = 1 — 3 \sin^2 a \cos^2 a$$

ШАГ 2: ПРАВАЯ ЧАСТЬ — выразим через $\cos 2a$ и $\cos 4a$

Имеем:

$$\frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4a)$$

Наша цель — тоже выразить это через $\sin^2 a \cos^2 a$, чтобы сравнить с левой частью.

ШАГ 3: Формула понижения степени

Известно:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a \Rightarrow \sin^2 2a = 4 \sin^2 a \cos^2 a$$

Также:

$$\cos 4a = 1 — 2 \sin^2 2a \Rightarrow \cos 4a = 1 — 8 \sin^2 a \cos^2 a$$

Отсюда:

$$\frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4a) = \frac{1}{8}(5 + 3(1 — 8 \sin^2 a \cos^2 a)) = \frac{1}{8}(5 + 3 — 24 \sin^2 a \cos^2 a)$$ $$= \frac{1}{8}(8 — 24 \sin^2 a \cos^2 a) = 1 — 3 \sin^2 a \cos^2 a$$

ИТОГ:

Левая и правая части обе равны:

$$1 — 3 \sin^2 a \cos^2 a$$

Тождество доказано.

2) Тождество:

$$\sin^8 a + \cos^8 a = \frac{1}{32}(\cos^2 4a + 14 \cos 4a + 17)$$

ШАГ 1: Преобразуем левую часть

Формула:

$$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — 2x^2 y^2 \Rightarrow \sin^4 a + \cos^4 a = (1)^2 — 2 \sin^2 a \cos^2 a$$

Теперь возведём в квадрат:

$$(\sin^4 a + \cos^4 a)^2 = \left(1 — 2 \sin^2 a \cos^2 a\right)^2 = 1 — 4 \sin^2 a \cos^2 a + 4 \sin^4 a \cos^4 a$$

Теперь вспомним:

$$\sin^8 a + \cos^8 a = (\sin^4 a + \cos^4 a)^2 — 2 \sin^4 a \cos^4 a$$

Подставим:

$$= \left(1 — 4 \sin^2 a \cos^2 a + 4 \sin^4 a \cos^4 a\right) — 2 \sin^4 a \cos^4 a$$ $$= 1 — 4 \sin^2 a \cos^2 a + 2 \sin^4 a \cos^4 a$$

ШАГ 2: Выражаем всё через $\sin 2a$ и $\cos 4a$

Используем:

• $\sin 2a = 2 \sin a \cos a \Rightarrow \sin^2 2a = 4 \sin^2 a \cos^2 a$
• $\sin^4 2a = 16 \sin^4 a \cos^4 a$

Подставим:

• $\sin^2 a \cos^2 a = \frac{1}{4} \sin^2 2a$
• $\sin^4 a \cos^4 a = \frac{1}{16} \sin^4 2a$

Тогда:

$$\sin^8 a + \cos^8 a = 1 — 4 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2a + 2 \cdot \frac{1}{16} \sin^4 2a =$$ $$= 1 — \sin^2 2a + \frac{1}{8} \sin^4 2a$$

ШАГ 3: Подставим понижение степени

Известно:

• $\sin^2 2a = \frac{1 — \cos 4a}{2}$
• $\sin^4 2a = \left(\frac{1 — \cos 4a}{2}\right)^2 = \frac{(1 — \cos 4a)^2}{4}$

Подставим:

$$1 — \frac{1 — \cos 4a}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{(1 — \cos 4a)^2}{4} =$$ $$= 1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 4a + \frac{1}{32}(1 — 2 \cos 4a + \cos^2 4a)$$ $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 4a + \frac{1}{32} — \frac{2}{32} \cos 4a + \frac{1}{32} \cos^2 4a$$ $$= \frac{17}{32} + \frac{14}{32} \cos 4a + \frac{1}{32} \cos^2 4a = \frac{1}{32}(17 + 14 \cos 4a + \cos^2 4a)$$

ИТОГ:

Левая часть сведена к:

$$\frac{1}{32}(17 + 14 \cos 4a + \cos^2 4a)$$

что в точности совпадает с правой частью.

Тождество доказано.