ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 561 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить значение выражения

sin2a/cosa — cos2a/sina, если sina-cosa=1/2.

Значение $\dfrac{\sin^2 a}{\cos a} — \dfrac{\cos^2 a}{\sin a}$, если $\sin a — \cos a = \dfrac{1}{2}$;

1) Произведение синуса и косинуса:

$$\sin a \cdot \cos a = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \cos a = \dfrac{1}{2} \sin 2a = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \sin a + \dfrac{1}{2} =$$ $$= -\dfrac{1}{2}(1 — \sin 2a) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} (\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a) + \dfrac{1}{2} =$$ $$= -\dfrac{1}{2} (\sin a — \cos a)^2 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{3}{8};$$

2) Значение выражения:

$$\dfrac{\sin^3 a — \cos^3 a}{\sin a \cdot \cos a} = \dfrac{(\sin a — \cos a)(\sin^2 a + \sin a \cos a + \cos^2 a)}{\sin a \cdot \cos a} =$$ $$= \dfrac{(\sin a — \cos a)(1 + \sin a \cdot \cos a)}{\sin a \cdot \cos a} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \left( 1 + \dfrac{3}{8} \right)}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{8}{8} + \dfrac{3}{8} \right)}{\dfrac{3}{8}} =$$ $$= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{11}{8}}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{\dfrac{11}{16}}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{11}{16} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{6} = 1 \dfrac{5}{6};$$

Ответ:

$$\boxed{1 \dfrac{5}{6}}$$

Вычислить значение выражения

$$\dfrac{\sin^2 a}{\cos a} — \dfrac{\cos^2 a}{\sin a},$$

если

$$\sin a — \cos a = \dfrac{1}{2}.$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Исходное выражение:

$$\dfrac{\sin^2 a}{\cos a} — \dfrac{\cos^2 a}{\sin a}$$

Мы заметим, что здесь общий вид напоминает:

$$\frac{A^2}{B} — \frac{B^2}{A}$$

Чтобы упростить это выражение, объединим его в одну дробь:

$$\dfrac{\sin^3 a — \cos^3 a}{\sin a \cdot \cos a}$$

Почему это работает?
Потому что:

$$\dfrac{\sin^2 a}{\cos a} = \dfrac{\sin^3 a}{\sin a \cdot \cos a}, \quad \dfrac{\cos^2 a}{\sin a} = \dfrac{\cos^3 a}{\sin a \cdot \cos a}$$

Таким образом:

$$\dfrac{\sin^2 a}{\cos a} — \dfrac{\cos^2 a}{\sin a} = \dfrac{\sin^3 a — \cos^3 a}{\sin a \cdot \cos a}$$

Шаг 2: Применим формулу разности кубов

Формула:

$$x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)$$

Применим её:

$$\sin^3 a — \cos^3 a = (\sin a — \cos a)(\sin^2 a + \sin a \cos a + \cos^2 a)$$

А значит:

$$\dfrac{\sin^3 a — \cos^3 a}{\sin a \cdot \cos a} = \dfrac{(\sin a — \cos a)(\sin^2 a + \cos^2 a + \sin a \cos a)}{\sin a \cdot \cos a}$$

Шаг 3: Упростим скобки

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Тогда выражение становится:

$$\dfrac{(\sin a — \cos a)(1 + \sin a \cdot \cos a)}{\sin a \cdot \cos a}$$

Шаг 4: Подставим известное значение

Нам дано:

$$\sin a — \cos a = \dfrac{1}{2}$$

Осталось найти значение $\sin a \cdot \cos a$

Шаг 5: Найдём $\sin a \cdot \cos a$ через тождество

Рассмотрим:

$$(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

А мы знаем, что:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Тогда:

$$(\sin a — \cos a)^2 = 1 — 2 \sin a \cos a$$

Подставим известное значение:

$$\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = 1 — 2 \sin a \cos a \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{4} = 1 — 2 \sin a \cos a$$

Вычтем 1:

$$— \dfrac{3}{4} = -2 \sin a \cos a$$

Разделим на $-2$:

$$\sin a \cdot \cos a = \dfrac{3}{8}$$

Шаг 6: Подставим всё в итоговую формулу

Итак, выражение:

$$\dfrac{(\sin a — \cos a)(1 + \sin a \cos a)}{\sin a \cos a}$$

Подставляем:

• $\sin a — \cos a = \dfrac{1}{2}$
• $\sin a \cos a = \dfrac{3}{8}$

Тогда числитель:

$$\dfrac{1}{2} \cdot \left( 1 + \dfrac{3}{8} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{11}{8} = \dfrac{11}{16}$$

А знаменатель:

$$\dfrac{3}{8}$$

Теперь делим дроби:

$$\dfrac{11}{16} \div \dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{16} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{11 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \dfrac{88}{48}$$

Сократим:

• Делим числитель и знаменатель на 8:

$$\dfrac{88}{48} = \dfrac{11}{6}$$

Шаг 7: Переведём в смешанное число

$$\dfrac{11}{6} = 1 \dfrac{5}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \dfrac{5}{6}}$$