ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 559 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{1-\cos a+\cos 2a}{\sin 2a-\sin a}=\mathrm{ctg}a$$
2. $$\frac{\sin a+\sin \frac{a}{2}}{1+\cos a+\cos \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}$$

Задача 1:

$$\frac{1 — \cos a + \cos 2a}{\sin 2a — \sin a} = \operatorname{ctg}a;$$ $$\frac{(\cos^2 a + \sin^2 a) — \cos a + (\cos^2 a — \sin^2 a)}{\sin 2a — \sin a} = \operatorname{ctg}a;$$ $$\frac{2\cos^2 a — \cos a}{2\sin a \cdot \cos a — \sin a} = \operatorname{ctg}a;$$ $$\frac{\cos a \cdot (2\cos a — 1)}{\sin a \cdot (2\cos a — 1)} = \operatorname{ctg}a;$$ $$\frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg}a;$$ $$\operatorname{ctg}a = \operatorname{ctg}a;$$

Тождество доказано.

Задача 2:

$$\frac{\sin a + \sin \frac{a}{2}}{1 + \cos a + \cos \frac{a}{2}} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$ $$\frac{\sin a + \sin \frac{a}{2}}{\left(\cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}\right) + \left(\cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}\right) + \cos \frac{a}{2}} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$ $$\frac{2\sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2}}{2\cos^2 \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$ $$\frac{\sin \frac{a}{2} \cdot \left(2\cos \frac{a}{2} + 1\right)}{\cos \frac{a}{2} \cdot \left(2\cos \frac{a}{2} + 1\right)} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$ $$\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$ $$\operatorname{tg}\frac{a}{2} = \operatorname{tg}\frac{a}{2};$$

Тождество доказано.

$$\boxed{\text{Тождества доказаны.}}$$

ЗАДАЧА 1

Докажем тождество:

$$\frac{1 — \cos a + \cos 2a}{\sin 2a — \sin a} = \ctg a$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Используем тождество:

$$1 = \cos^2 a + \sin^2 a \quad\text{и}\quad \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставим:

$$1 — \cos a + \cos 2a = (\cos^2 a + \sin^2 a) — \cos a + (\cos^2 a — \sin^2 a)$$

Сгруппируем:

$$= (\cos^2 a + \cos^2 a) — \cos a + (\sin^2 a — \sin^2 a) = 2\cos^2 a — \cos a$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a \Rightarrow \sin 2a — \sin a = 2 \sin a \cos a — \sin a = \sin a (2 \cos a — 1)$$

Шаг 3: Перепишем числитель

$$2 \cos^2 a — \cos a = \cos a (2 \cos a — 1)$$

Шаг 4: Подставим всё в дробь

$$\frac{\cos a (2 \cos a — 1)}{\sin a (2 \cos a — 1)}$$

Сократим общий множитель $(2 \cos a — 1)$ в числителе и знаменателе (если он ≠ 0):

$$= \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

Результат:

$$\ctg a = \ctg a \quad \boxed{\text{Тождество доказано.}}$$

ЗАДАЧА 2

Докажем тождество:

$$\frac{\sin a + \sin \frac{a}{2}}{1 + \cos a + \cos \frac{a}{2}} = \tg \frac{a}{2}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Заметим:

$$\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} \quad\text{(формула двойного угла)}$$

Заменим:

$$\sin a + \sin \frac{a}{2} = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2}$$

Вынесем $\sin \frac{a}{2}$ за скобки:

$$= \sin \frac{a}{2} (2 \cos \frac{a}{2} + 1)$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Воспользуемся:

• $1 = \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}$
• $\cos a = \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}$

Заменим:

$$1 + \cos a + \cos \frac{a}{2} = (\cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}) + (\cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}) + \cos \frac{a}{2}$$

Сгруппируем:

$$= 2 \cos^2 \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} = \cos \frac{a}{2} (2 \cos \frac{a}{2} + 1)$$

Шаг 3: Соберём дробь:

$$\frac{\sin \frac{a}{2} (2 \cos \frac{a}{2} + 1)}{\cos \frac{a}{2} (2 \cos \frac{a}{2} + 1)}$$

Сократим общий множитель $(2 \cos \frac{a}{2} + 1)$:

$$= \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \tg \frac{a}{2}$$

Результат:

$$\tg \frac{a}{2} = \tg \frac{a}{2} \quad \boxed{\text{Тождество доказано.}}$$