ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 558 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать тождество (558—559).

$\frac{\sin (2 a - 3 π) + 2 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 a)}{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) + \sqrt{3} \cos (2 a - 3 π)} = - \sqrt{3} \cdot ctg 2 a$
$\frac{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) - \sqrt{3} \sin (2.5 π - 2 a)}{\cos (4.5 π - 2 a) + 2 \cos (\frac{π}{6} + 2 a)} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}}$

Краткий ответ:

Задача 1:

$\frac{\sin (2 a - 3 π) + 2 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 a)}{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) + \sqrt{3} \cos (2 a - 3 π)} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{\sin (- 4 π + π + 2 a) + 2 (\cos \frac{7 π}{6} \cdot \cos 2 a - \sin \frac{7 π}{6} \cdot \sin 2 a)}{2 (\cos \frac{π}{6} \cdot \cos 2 a + \sin \frac{π}{6} \cdot \sin 2 a) + \sqrt{3} \cdot \cos (- 4 π + π + 2 a)} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{\sin (π + 2 a) + 2 (\cos (π + \frac{π}{6}) \cdot \cos 2 a - \sin (π + \frac{π}{6}) \cdot \sin 2 a)}{2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a) + \sqrt{3} \cdot \cos (π + 2 a)} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{- \sin 2 a + 2 (- \cos \frac{π}{6} \cdot \cos 2 a + \sin \frac{π}{6} \cdot \sin 2 a)}{\sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{- \sin 2 a + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a)}{\sin 2 a} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{- \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a}{\sin 2 a} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $\frac{- \sqrt{3} \cos 2 a}{\sin 2 a} = - \sqrt{3} ctg 2 a;$ $- \sqrt{3} ctg 2 a = - \sqrt{3} ctg 2 a;$

Тождество доказано.

Задача 2:

$\frac{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) - \sqrt{3} \sin (2.5 π - 2 a)}{\cos (4.5 π - 2 a) + 2 \cos (\frac{π}{6} + 2 a)} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$ $\frac{2 (\cos \frac{π}{6} \cdot \cos 2 a + \sin \frac{π}{6} \cdot \sin 2 a) - \sqrt{3} \sin (2 π + \frac{π}{2} - 2 a)}{\cos (4 π + \frac{π}{2} - 2 a) + 2 (\cos \frac{π}{6} \cdot \cos 2 a - \sin \frac{π}{6} \cdot \sin 2 a)} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$ $\frac{2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a) - \sqrt{3} \sin (\frac{π}{2} - 2 a)}{\cos (\frac{π}{2} - 2 a) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a - \frac{1}{2} \sin 2 a)} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$ $\frac{\sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a}{\sin 2 a + \sqrt{3} \cos 2 a - \sin 2 a} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$ $\frac{\sin 2 a}{\sqrt{3} \cos 2 a} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$ $\frac{tg 2 a}{\sqrt{3}} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}};$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

ЗАДАЧА 1

Упростить и доказать тождество:

$\frac{\sin (2 a - 3 π) + 2 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 a)}{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) + \sqrt{3} \cos (2 a - 3 π)} = - \sqrt{3} \cdot ctg 2 a$

ШАГ 1: Преобразуем аргументы

$\sin (2 a - 3 π) = \sin (2 a - 2 π - π) = \sin (2 a - 4 π + π) = \sin (π + 2 a)$ $\cos (\frac{7 π}{6} + 2 a) = \cos (π + \frac{π}{6} + 2 a)$ $\cos (\frac{π}{6} - 2 a) оставим без изменений и \cos (2 a - 3 π) = \cos (π + 2 a)$

ШАГ 2: Используем формулы приведения

$\sin (π + x) = - \sin x \Rightarrow \sin (π + 2 a) = - \sin 2 a$ $\cos (π + x) = - \cos x \Rightarrow \cos (π + \frac{π}{6} + 2 a) = - \cos (\frac{π}{6} + 2 a)$ $\cos (π + 2 a) = - \cos 2 a$

ШАГ 3: Раскроем скобки с учётом коэффициентов

Числитель:

$\sin (2 a - 3 π) + 2 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 a) = - \sin 2 a + 2 \cdot (- \cos (\frac{π}{6} + 2 a)) =$

$= - \sin 2 a - 2 \cos (\frac{π}{6} + 2 a)$

Применим формулу косинуса суммы:

$\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ $\cos (\frac{π}{6} + 2 a) = \cos \frac{π}{6} \cos 2 a - \sin \frac{π}{6} \sin 2 a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a - \frac{1}{2} \sin 2 a$

Подставим:

$- \sin 2 a - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a - \frac{1}{2} \sin 2 a) = - \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a = - \sqrt{3} \cos 2 a$

Знаменатель:

$2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) + \sqrt{3} \cos (2 a - 3 π) = 2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) - \sqrt{3} \cos 2 a$ $\cos (\frac{π}{6} - 2 a) = \cos \frac{π}{6} \cos 2 a + \sin \frac{π}{6} \sin 2 a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a$

Умножим на 2:

$2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a) = \sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a$

Теперь:

$\sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a = \sin 2 a$

ШАГ 4: Финальное выражение

$\frac{- \sqrt{3} \cos 2 a}{\sin 2 a} = - \sqrt{3} \cdot ctg 2 a$ $- \sqrt{3} \cdot ctg 2 a = - \sqrt{3} \cdot ctg 2 a$

Тождество доказано.

ЗАДАЧА 2

Упростить и доказать:

$\frac{2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) - \sqrt{3} \sin (2.5 π - 2 a)}{\cos (4.5 π - 2 a) + 2 \cos (\frac{π}{6} + 2 a)} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}}$

ШАГ 1: Преобразуем аргументы с полными оборотами

$2.5 π - 2 a = 2 π + \frac{π}{2} - 2 a = \frac{π}{2} - 2 a (т.к. синус 2 π + x = \sin x)$ $4.5 π - 2 a = 4 π + \frac{π}{2} - 2 a = \frac{π}{2} - 2 a (аналогично)$

ШАГ 2: Преобразуем выражения

Числитель:

$2 \cos (\frac{π}{6} - 2 a) - \sqrt{3} \cdot \sin (\frac{π}{2} - 2 a)$ $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x \Rightarrow \sin (\frac{π}{2} - 2 a) = \cos 2 a$ $\cos (\frac{π}{6} - 2 a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a \Rightarrow 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a + \frac{1}{2} \sin 2 a) = \sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a$

Теперь:

$\sqrt{3} \cos 2 a + \sin 2 a - \sqrt{3} \cos 2 a = \sin 2 a$

Знаменатель:

$\cos (\frac{π}{2} - 2 a) + 2 \cos (\frac{π}{6} + 2 a)$ $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x \Rightarrow \cos (\frac{π}{2} - 2 a) = \sin 2 a$ $\cos (\frac{π}{6} + 2 a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a - \frac{1}{2} \sin 2 a \Rightarrow 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 a - \frac{1}{2} \sin 2 a) = \sqrt{3} \cos 2 a - \sin 2 a$

Теперь:

$\sin 2 a + \sqrt{3} \cos 2 a - \sin 2 a = \sqrt{3} \cos 2 a$

ШАГ 3: Финальное выражение

$\frac{\sin 2 a}{\sqrt{3} \cos 2 a} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}}$ $\frac{tg 2 a}{\sqrt{3}} = \frac{tg 2 a}{\sqrt{3}}$

Тождество доказано.

Оцени решение