ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 557 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

$$(\frac{\cos \beta }{\sin a}+\frac{\sin \beta }{\cos a})\cdot \frac{1-\cos 4a}{\cos (\pi -\beta +a)}$$

Упростим выражение:

$$(\frac{\cos \beta }{\sin a}+\frac{\sin \beta }{\cos a})\cdot \frac{1-\cos 4a}{\cos (\pi -\beta +a)}=$$

$$\left( \frac{\cos \beta}{\sin a} + \frac{\sin \beta}{\cos a} \right) \cdot \frac{1 — \cos 4a}{\cos (\pi — \beta + a)} =$$ $$=\frac{\cos \beta \cdot \cos a+\sin \beta \cdot \sin a}{\sin a\cdot \cos a}\cdot \frac{{\cos }^{2}2a+{\sin }^{2}2a-({\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a)}{\cos (\pi -(\beta -a))}=$$

$$= \frac{\cos \beta \cdot \cos a + \sin \beta \cdot \sin a}{\sin a \cdot \cos a} \cdot \frac{\cos^2 2a + \sin^2 2a — (\cos^2 2a — \sin^2 2a)}{\cos (\pi — (\beta — a))} =$$ $$= \frac{\cos (\beta — a)}{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \cos a} \cdot \frac{2 \sin^2 2a}{-\cos (\beta — a)} = \frac{2 \sin^2 2a}{-\frac{1}{2} \cdot \sin 2a} = -4 \sin 2a;$$

Ответ: $-4 \sin 2a$.

Задано выражение:

$$\left( \frac{\cos \beta}{\sin a} + \frac{\sin \beta}{\cos a} \right) \cdot \frac{1 — \cos 4a}{\cos (\pi — \beta + a)}$$

ШАГ 1: Приведём к общему знаменателю первую скобку

$$\frac{\cos \beta}{\sin a} + \frac{\sin \beta}{\cos a} = \frac{\cos \beta \cdot \cos a + \sin \beta \cdot \sin a}{\sin a \cdot \cos a}$$

Использовано:

Общий знаменатель: $\sin a \cdot \cos a$
Числитель: приводим по правилам сложения дробей.

ШАГ 2: Используем формулу приведения в числителе

$$\cos \beta \cdot \cos a + \sin \beta \cdot \sin a = \cos(\beta — a)$$

Использовано:

Формула косинуса разности:

$$\cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$$

Итак, первая часть выражения:

$$\frac{\cos (\beta — a)}{\sin a \cdot \cos a}$$

ШАГ 3: Упростим вторую часть выражения: $1 — \cos 4a$

$$1 — \cos 4a = 2 \sin^2 2a$$

Использовано:

Формула понижения степени:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2},\quad \text{или напрямую: } 1 — \cos 4a = 2 \sin^2 2a$$

ШАГ 4: Упростим $\cos (\pi — \beta + a)$

$$\cos(\pi — x) = -\cos x \Rightarrow \cos(\pi — (\beta — a)) = -\cos(\beta — a)$$

ШАГ 5: Соберём всё вместе:

$$\frac{\cos (\beta — a)}{\sin a \cdot \cos a} \cdot \frac{2 \sin^2 2a}{-\cos (\beta — a)}$$

ШАГ 6: Сократим $\cos (\beta — a)$

$$= \frac{1}{\sin a \cdot \cos a} \cdot \frac{2 \sin^2 2a}{-1} = -\frac{2 \sin^2 2a}{\sin a \cdot \cos a}$$

ШАГ 7: Преобразуем знаменатель

$$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{2} \cdot \sin 2a \Rightarrow — \frac{2 \sin^2 2a}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2a}$$

ШАГ 8: Упростим дробь

$$= -\frac{2 \sin^2 2a}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2a} = -4 \sin 2a$$

Ответ:

$$\boxed{-4 \sin 2a}$$

Итоги и использованные формулы:

1. Приведение дробей к общему знаменателю
2. Формула косинуса разности:

   $$\cos(\beta — a) = \cos \beta \cos a + \sin \beta \sin a$$

3. Формула понижения степени:

   $$1 — \cos 4a = 2 \sin^2 2a$$

4. Формула приведения:

   $$\cos(\pi — x) = -\cos x$$

5. Формула двойного угла:

   $$\sin 2a = 2 \sin a \cos a \Rightarrow \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a$$