ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 555 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. $$\frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a}={\mathrm{tg}}^{2}a$$
2. $$\frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a}={\mathrm{tg}}^2(\frac{\pi }{4}-a)$$

1.

$$\frac{2 \sin 2a — \sin 4a}{2 \sin 2a + \sin 4a} = \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\frac{2 \sin 2a — 2 \cdot \sin 2a \cdot \cos 2a}{2 \sin 2a + 2 \cdot \sin 2a \cdot \cos 2a} = \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\frac{2 \sin 2a \cdot (1 — \cos 2a)}{2 \sin 2a \cdot (1 + \cos 2a)} = \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\operatorname{tg}^2 \left( \frac{2a}{2} \right) = \operatorname{tg}^2 a;$$ $$\operatorname{tg}^2 a = \operatorname{tg}^2 a;$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{2 \cos 2a — \sin 4a}{2 \cos 2a + \sin 4a} = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\frac{2 \cos 2a — 2 \cdot \sin 2a \cdot \cos 2a}{2 \cos 2a + 2 \cdot \sin 2a \cdot \cos 2a} = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\frac{2 \cos 2a \cdot (1 — \sin 2a)}{2 \cos 2a \cdot (1 + \sin 2a)} = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a} = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)} = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\operatorname{tg}^2 \left( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right) \right) = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$ $$\operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right);$$

Тождество доказано.

1) Доказать:

$$\frac{2 \sin 2a — \sin 4a}{2 \sin 2a + \sin 4a} = \tg^2 a$$

ШАГ 1: Раскроем $\sin 4a$ через двойной угол:

$$\sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a$$

ШАГ 2: Подставим в исходное выражение:

$$\frac{2 \sin 2a — 2 \sin 2a \cos 2a}{2 \sin 2a + 2 \sin 2a \cos 2a}$$

ШАГ 3: Вынесем $2 \sin 2a$ за скобки в числителе и знаменателе:

$$= \frac{2 \sin 2a (1 — \cos 2a)}{2 \sin 2a (1 + \cos 2a)}$$

ШАГ 4: Сократим одинаковые множители:

$$= \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a}$$

ШАГ 5: Используем формулу:

$$\tg^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$$

(эта формула выводится из тождества:
$\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \tg^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$
и далее используем:
$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2},\quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$)

ШАГ 6: Подставляем:

$$\frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \tg^2 a$$

ШАГ 7: Получено тождество:

$$\tg^2 a = \tg^2 a$$

Тождество доказано.

2) Доказать:

$$\frac{2 \cos 2a — \sin 4a}{2 \cos 2a + \sin 4a} = \tg^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

ШАГ 1: Раскроем $\sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a$

$$= \frac{2 \cos 2a — 2 \sin 2a \cos 2a}{2 \cos 2a + 2 \sin 2a \cos 2a}$$

ШАГ 2: Вынесем $2 \cos 2a$ за скобки:

$$= \frac{2 \cos 2a (1 — \sin 2a)}{2 \cos 2a (1 + \sin 2a)}$$

ШАГ 3: Сократим общий множитель:

$$= \frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a}$$

ШАГ 4: Представим $\sin 2a$ через $\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)$

Поскольку:

$$\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \Rightarrow \sin 2a = \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)$$ $$\frac{1 — \sin 2a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)}$$

ШАГ 5: Используем формулу:

$$\tg^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$$

Применим к:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right) = \frac{\pi}{4} — a$$ $$\tg^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 — \cos\left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{1 + \cos\left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}$$

ШАГ 6: Подставим и сверим:

$$\frac{1 — \cos\left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{1 + \cos\left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)} = \tg^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

ШАГ 7: Результат:

$$\tg^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \tg^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

Тождество доказано.