ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 552 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. 1+tgatgb = cos(a-b)/coscosb;
2. tga-tgb=sin(a-b)/cosacosb.

1.

$$1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta = \frac{\cos (a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta};$$ $$1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta = 1 + \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\cos (a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta};$$

Тождество доказано.

2.

$$\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta};$$ $$\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta — \sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\sin (a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta};$$

Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

$$1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta = \frac{\cos(a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 1. Запишем левую часть через определения:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Шаг 2. Подставим в левую часть:

$$1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta = 1 + \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Шаг 3. Представим 1 как дробь с общим знаменателем:

$$1 = \frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Теперь сложим дроби:

$$= \frac{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 4. Применим формулу косинуса разности:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 5. Подставим:

$$\frac{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\cos(a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Тождество доказано.

2) Доказать тождество:

$$\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin(a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 1. Запишем тангенсы через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Шаг 2. Вычтем:

$$\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Шаг 3. Приведём к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $\cos a \cdot \cos \beta$

$$= \frac{\sin a \cdot \cos \beta — \sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 4. Применим формулу синуса разности:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 5. Подставим:

$$\frac{\sin a \cdot \cos \beta — \sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\sin(a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Тождество доказано.