ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 548 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (548—549).

1. sin 47пи/6;
2. tg 25пи/4;
3. ctg 27пи/4;
4. cos 21пи/4.

1. $$\sin \frac{47\pi}{6} = \sin \left( 8\pi — \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$
2. $$\operatorname{tg} \frac{25\pi}{4} = \operatorname{tg} \left( 6\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$$
3. $$\operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left( 7\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1;$$
4. $$\cos \frac{21\pi}{4} = \cos \left( 4\pi + \frac{5\pi}{4} \right) = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

1) Найти

$$\sin \frac{47\pi}{6}$$

Шаг 1. Приведём угол к основному интервалу $[0, 2\pi)$.

Углы в тригонометрии периодичны с периодом $2\pi$, поэтому:

$$\sin \theta = \sin (\theta \pm 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Найдём, сколько раз $2\pi$ помещается в $\frac{47\pi}{6}$:

$$2\pi = \frac{12\pi}{6}$$

Посчитаем целое количество периодов:

$$\frac{47\pi}{6} = 3 \times \frac{12\pi}{6} + \text{остаток} = 3 \times 2\pi + \frac{11\pi}{6}$$

Но $3 \times 2\pi = 6\pi$, а $\frac{47\pi}{6} = 7\pi + \frac{5\pi}{6}$, так что лучше искать полное число $2\pi$ в $\frac{47\pi}{6}$:

$$\frac{47}{6} = 7 + \frac{5}{6}$$

Значит:

$$\frac{47\pi}{6} = 7\pi + \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 3. Но период синуса равен $2\pi$, а $7\pi = 3 \times 2\pi + \pi$, следовательно:

$$\sin \frac{47\pi}{6} = \sin \left( 7\pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( 3 \times 2\pi + \pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \pi + \frac{5\pi}{6} \right)$$

Шаг 4. Используем периодичность:

$$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha$$

Шаг 5. Распишем:

$$\sin \left( \pi + \frac{5\pi}{6} \right) = — \sin \frac{5\pi}{6}$$

(Поскольку $\sin(\pi + x) = -\sin x$.)

Шаг 6. Значение $\sin \frac{5\pi}{6}$:

$$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Итого:

$$\sin \frac{47\pi}{6} = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

2) Найти

$$\tan \frac{25\pi}{4}$$

Шаг 1. Приведём угол к интервалу $[0, 2\pi)$, используя период $\pi$ для тангенса:

$$\tan \theta = \tan(\theta \pm k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Найдём остаток при делении $\frac{25\pi}{4}$ на $\pi$:

$$\pi = \frac{4\pi}{4}$$ $$\frac{25\pi}{4} = 6 \times \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 6 \pi + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3. По периодичности тангенса:

$$\tan \frac{25\pi}{4} = \tan \left(6 \pi + \frac{\pi}{4} \right) = \tan \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4. Значение тангенса:

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

3) Найти

$$\cot \frac{27\pi}{4}$$

Шаг 1. Котангенс имеет период $\pi$, значит:

$$\cot \theta = \cot(\theta \pm k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Выразим $\frac{27\pi}{4}$ через кратное $\pi$:

$$\pi = \frac{4\pi}{4}$$ $$\frac{27\pi}{4} = 6 \times \frac{4\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 6\pi + \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 3. Используем периодичность котангенса:

$$\cot \frac{27\pi }{4}=\cot (6\pi +\frac{3\pi }{4})=\cot \frac{3\pi }{4}$$

Шаг 4. Значение:

$$\cot \frac{3\pi}{4} = \cot \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\cot \frac{\pi}{4} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

4) Найти

$$\cos \frac{21\pi}{4}$$

Шаг 1. Период косинуса $2\pi$:

$$\cos \theta = \cos(\theta \pm 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Запишем угол:

$$\frac{21\pi}{4} = 5 \times \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 5 \times \pi + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3. Сведём с помощью периодичности:

$$\cos \frac{21\pi}{4} = \cos \left(5 \pi + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4. Используем формулу:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x$$

Тогда:

$$\cos (5\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \left(4\pi + \pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4}$$

(так как $4\pi$ — полный период, не меняет значение).

Шаг 5. Значение косинуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Итог:

$$\cos \frac{21\pi}{4} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$