ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 547 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. $$2\sin (\pi -a)\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-a)+3{\sin }^2(\frac{\pi }{2}-a)-2$$
2. $$\frac{\sin (\pi +a)\cdot \cos (\frac{3\pi }{2}-a)\cdot \mathrm{tg}(a-\frac{\pi }{2})}{\cos (\frac{\pi }{2}+a)\cdot \cos (\frac{3\pi }{2}+a)\cdot \mathrm{tg}(\pi +a)}$$

1.

$$2 \sin(\pi — a) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) + 3 \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) — 2 =$$ $$= 2 \sin a \cdot \sin a + 3 \cos^2 a — 2 (\cos^2 a + \sin^2 a) =$$ $$= 2 \sin^2 a + 3 \cos^2 a — 2 \cos^2 a — 2 \sin^2 a = \cos^2 a;$$

2.

$$\frac{\sin(\pi + a) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cdot \operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \cdot \operatorname{tg}(\pi + a)} =$$ $$= \frac{-\sin a \cdot (-\sin a) \cdot \operatorname{tg}\left(-\pi + \left(\frac{\pi}{2} + a\right)\right)}{-\sin a \cdot \sin a \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + a\right)}{\operatorname{tg} a} =$$ $$= \frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} a} = \operatorname{ctg} a : \frac{1}{\operatorname{ctg} a} = \operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} a = \operatorname{ctg}^2 a;$$

1) Упростить выражение:

$$2 \sin(\pi — a) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) + 3 \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) — 2$$

Шаг 1. Используем основные тригонометрические тождества для преобразования аргументов.

• Синус с аргументом $\pi — a$:

$$\sin(\pi — a) = \sin a$$

(Поскольку $\sin(\pi — x) = \sin x$.)

• Косинус с аргументом $\frac{\pi}{2} — a$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \sin a$$

(Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$.)

• Синус с аргументом $\frac{\pi}{2} — a$:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos a$$

Шаг 2. Подставляем эти выражения в исходное:

$$2 \sin(\pi — a) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = 2 \sin a \cdot \sin a = 2 \sin^2 a$$ $$3 \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = 3 \cos^2 a$$

И так:

$$2 \sin^2 a + 3 \cos^2 a — 2$$

Шаг 3. Используем фундаментальное тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Разобьём $-2$ как $-2(\sin^2 a + \cos^2 a)$:

$$2 \sin^2 a + 3 \cos^2 a — 2(\sin^2 a + \cos^2 a)$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$2 \sin^2 a + 3 \cos^2 a — 2 \sin^2 a — 2 \cos^2 a = (2 \sin^2 a — 2 \sin^2 a) + (3 \cos^2 a — 2 \cos^2 a) = \cos^2 a$$

Ответ:

$$\boxed{\cos^2 a}$$

2) Упростить выражение:

$$\frac{\sin(\pi + a) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cdot \operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \cdot \operatorname{tg}(\pi + a)}$$

Шаг 1. Используем основные тождества для преобразования функций с сдвинутыми аргументами:

• $\sin(\pi + a) = -\sin a$, так как $\sin(x + \pi) = -\sin x$.
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cos a + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \sin a$.

Знаем, что $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$, значит:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) = 0 \cdot \cos a + (-1) \cdot \sin a = -\sin a$$

• Тангенс с аргументом $a — \frac{\pi}{2}$:

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(a — \frac{\pi}{2}\right)$$

Используем формулу сдвига тангенса:

$$\tan(x — \frac{\pi}{2}) = -\cot x = -\operatorname{ctg} x$$

Следовательно,

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg} a$$

Шаг 2. Аналогично преобразуем знаменатель:

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\sin a$ (так как $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$).
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \sin a$ (так как $\cos(x + \frac{3\pi}{2}) = \sin x$).
• $\operatorname{tg}(\pi + a) = \tan(\pi + a) = \tan a$ (так как тангенс периодичен с периодом $\pi$).

Шаг 3. Подставим всё в исходное выражение:

$$\frac{(-\sin a) \cdot (-\sin a) \cdot \left(-\operatorname{ctg} a\right)}{(-\sin a) \cdot \sin a \cdot \tan a} = \frac{\sin^2 a \cdot (-\operatorname{ctg} a)}{-\sin^2 a \cdot \tan a}$$

Шаг 4. Сократим $-\sin^2 a$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-\operatorname{ctg} a}{-\tan a} = \frac{\operatorname{ctg} a}{\tan a}$$

Шаг 5. Используем взаимосвязь тангенса и котангенса:

$$\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\tan a}$$

Шаг 6. Подставляем:

$$\frac{\operatorname{ctg} a}{\tan a} = \frac{\frac{1}{\tan a}}{\tan a} = \frac{1}{\tan^2 a} = \operatorname{ctg}^2 a$$

Ответ:

$$\boxed{\operatorname{ctg}^2 a}$$