ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 546 Алимов — Подробные Ответы

Найти:

1. cos а, если sin а= корень 3/3 и пи/2 < a < пи;
2. tg а, если cos а = — корень 5/3 и пи < a < 3пи/2;
3. sin а, если tg a = 2 корень 2 и 0 < a < пи/2;
4. cos a, если ctg a = корень 2 и пи < a < 3пи/2.

$\cos a$, если $\sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Угол $a$ принадлежит второй четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a};$$ $$\cos a = -\sqrt{1 — \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} = -\sqrt{\frac{9}{9} — \frac{3}{9}} = -\sqrt{\frac{6}{9}} = -\frac{\sqrt{6}}{3};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\operatorname{tg} a$, если $\cos a = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Угол $a$ принадлежит третьей четверти:

$$\operatorname{tg} a = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 a} — 1};$$ $$\operatorname{tg} a = \sqrt{\frac{1}{\left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)^2} — 1} = \sqrt{\frac{9}{5} — \frac{5}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5};$$

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

$\sin a$, если $\operatorname{tg} a = 2\sqrt{2}$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$;

Угол $a$ принадлежит первой четверти:

$$\sin a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \cos a = \operatorname{tg} a \cdot \cos a = \operatorname{tg} a \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 a}};$$ $$\sin a = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + (2\sqrt{2})^2}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + 4 \cdot 2}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3};$$

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\cos a$, если $\operatorname{ctg} a = \sqrt{2}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Угол $a$ принадлежит третьей четверти:

$$\cos a = \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \sin a = \operatorname{ctg} a \cdot \sin a = -\operatorname{ctg} a \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 a}};$$ $$\cos a = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + (\sqrt{2})^2}} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1 + 2}} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

1) Найти $\cos a$, если $\sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$.

Шаг 1. Угол $a$ лежит во второй четверти, где:

• $\sin a > 0$
• $\cos a < 0$

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Отсюда:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Шаг 3. Подставляем заданное значение $\sin a = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\cos^2 a = 1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 — \frac{3}{9} = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Берём корень, учитывая знак косинуса во второй четверти (он отрицательный):

$$\cos a = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{6}}{3}}$$

2) Найти $\operatorname{tg} a$, если $\cos a = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 1. Угол $a$ лежит в третьей четверти, где:

• $\sin a < 0$
• $\cos a < 0$
• $\operatorname{tg} a > 0$ (так как обе синус и косинус отрицательны, тангенс положителен)

Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество для тангенса:

$$\operatorname{tg}^2 a + 1 = \frac{1}{\cos^2 a} \implies \operatorname{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} — 1$$

Шаг 3. Подставляем заданное значение $\cos a = -\frac{\sqrt{5}}{3}$:

$$\operatorname{tg}^2 a = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} — 1 = \frac{1}{\frac{5}{9}} — 1 = \frac{9}{5} — 1 = \frac{4}{5}$$

Шаг 4. Берём положительный корень (поскольку тангенс в третьей четверти положителен):

$$\operatorname{tg} a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}$$

3) Найти $\sin a$, если $\operatorname{tg} a = 2\sqrt{2}$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

Шаг 1. Угол $a$ лежит в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны:

$$\sin a > 0, \quad \cos a > 0, \quad \operatorname{tg} a > 0$$

Шаг 2. Связь между синусом, косинусом и тангенсом:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} \implies \sin a = \operatorname{tg} a \cdot \cos a$$

Шаг 3. Используем тождество для косинуса через тангенс:

$$\cos a = \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 a}}$$

Шаг 4. Подставляем $\operatorname{tg} a = 2 \sqrt{2}$:

$$\cos a = \sqrt{\frac{1}{1 + (2\sqrt{2})^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 8}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$

Шаг 5. Находим синус:

$$\sin a = \operatorname{tg} a \cdot \cos a = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$$

4) Найти $\cos a$, если $\operatorname{ctg} a = \sqrt{2}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 1. Угол $a$ лежит в третьей четверти, где:

• $\sin a < 0$
• $\cos a < 0$
• $\operatorname{ctg} a > 0$ (так как $\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}$, обе величины отрицательны)

Шаг 2. Связь между косинусом, синусом и котангенсом:

$$\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} \implies \cos a = \operatorname{ctg} a \cdot \sin a$$

Шаг 3. Используем тождество для синуса через котангенс:

$$\sin a = — \sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 a}}$$

Отрицательный знак потому, что $\sin a < 0$ в третьей четверти.

Шаг 4. Подставляем $\operatorname{ctg} a = \sqrt{2}$:

$$\sin a = — \sqrt{\frac{1}{1 + (\sqrt{2})^2}} = — \sqrt{\frac{1}{1 + 2}} = — \sqrt{\frac{1}{3}} = — \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5. Находим $\cos a$:

$$\cos a = \operatorname{ctg} a \cdot \sin a = \sqrt{2} \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = — \sqrt{\frac{2}{3}} = — \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{- \frac{\sqrt{6}}{3}}$$