ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 541 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Упростить выражение:

$\frac{2 (\cos a + \cos 3 a)}{2 \sin 2 a + \sin 4 a}$
$\frac{1 + \sin a - \cos 2 a - \sin 3 a}{2 \sin^{2} a + \sin a - 1}$

Краткий ответ:

1. $\frac{2 (\cos a + \cos 3 a)}{2 \sin 2 a + \sin 4 a} = \frac{2 \cdot 2 \cdot \cos \frac{a + 3 a}{2} \cdot \cos \frac{a - 3 a}{2}}{\sin 2 a + 2 \cdot \sin \frac{2 a + 4 a}{2} \cdot \cos \frac{2 a - 4 a}{2}} =$ $= \frac{4 \cdot \cos \frac{4 a}{2} \cdot \cos (- \frac{2 a}{2})}{\sin 2 a + 2 \cdot \sin \frac{6 a}{2} \cdot \cos (- \frac{2 a}{2})} = \frac{4 \cdot \cos 2 a \cdot \cos a}{2 \cdot \sin a \cdot \cos a + 2 \cdot \sin 3 a \cdot \cos a} =$ $= \frac{2 \cdot \cos 2 a \cdot \cos a}{\cos a \cdot (\sin a + \sin 3 a)} = \frac{2 \cdot \cos 2 a}{\sin a + \sin 3 a} = \frac{2 \cdot \cos 2 a}{2 \cdot \sin \frac{2 + 3 a}{2} \cdot \cos \frac{a - 3 a}{2}} =$ $= \frac{\cos 2 a}{\sin \frac{4 a}{2} \cdot \cos (- \frac{2 a}{2})} = \frac{\cos 2 a}{\sin 2 a} \cdot \frac{1}{\cos a} = \frac{ctg 2 a}{\cos a};$

2. $\frac{1 + \sin a - \cos 2 a - \sin 3 a}{2 \sin^{2} a + \sin a - 1} =$ $= \frac{(\cos^{2} a + \sin^{2} a) - (\cos^{2} a - \sin^{2} a) + 2 \cdot \sin \frac{a - 3 a}{2} \cdot \cos \frac{a + 3 a}{2}}{2 \sin^{2} a + \sin a - (\sin^{2} a + \cos^{2} a)} =$ $= \frac{2 \sin^{2} a + 2 \cdot \sin (- \frac{2 a}{2}) \cdot \cos \frac{4 a}{2}}{\sin^{2} a + \sin a - \cos^{2} a} = \frac{2 \sin^{2} a - 2 \sin a \cdot \cos 2 a}{\sin a - (\cos^{2} a - \sin^{2} a)} =$ $= \frac{2 \sin a (\sin a - \cos 2 a)}{\sin a - \cos 2 a} = 2 \sin a$

Подробный ответ:

1)

Исходное выражение:

$\frac{2 (\cos a + \cos 3 a)}{2 \sin 2 a + \sin 4 a}$

Шаг 1. Применяем формулу суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}$

Для числителя $\cos a + \cos 3 a$ получаем:

$\cos a + \cos 3 a = 2 \cos \frac{a + 3 a}{2} \cdot \cos \frac{a - 3 a}{2} = 2 \cos 2 a \cdot \cos (- a)$

Поскольку $\cos (- x) = \cos x$ , тогда:

$\cos a + \cos 3 a = 2 \cos 2 a \cdot \cos a$

Подставляем это обратно в числитель:

$2 (\cos a + \cos 3 a) = 2 \cdot 2 \cos 2 a \cdot \cos a = 4 \cos 2 a \cdot \cos a$

Шаг 2. Рассмотрим знаменатель:

$2 \sin 2 a + \sin 4 a$

Выделим здесь сумму синусов, чтобы упростить. Формула суммы синусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}$

Но у нас $2 \sin 2 a$ + $\sin 4 a$ , здесь проще представить $2 \sin 2 a$ как $\sin 2 a + \sin 2 a$ , а потом сложить с $\sin 4 a$ .

Или, лучше, перепишем знаменатель как:

$2 \sin 2 a + \sin 4 a = \sin 2 a + \sin 2 a + \sin 4 a$

Сначала сложим $\sin 2 a + \sin 4 a$ :

$\sin 2 a + \sin 4 a = 2 \sin \frac{2 a + 4 a}{2} \cdot \cos \frac{2 a - 4 a}{2} = 2 \sin 3 a \cdot \cos (- a) = 2 \sin 3 a \cdot \cos a$

Подставим обратно:

$2 \sin 2 a + \sin 4 a = \sin 2 a + 2 \sin 3 a \cdot \cos a$

Шаг 3. Подставим результаты в исходное выражение:

$\frac{4 \cos 2 a \cdot \cos a}{\sin 2 a + 2 \sin 3 a \cdot \cos a}$

Шаг 4. Представим $\sin 2 a$ через формулу двойного угла:

$\sin 2 a = 2 \sin a \cos a$

Подставим:

$\frac{4 \cos 2 a \cdot \cos a}{2 \sin a \cos a + 2 \sin 3 a \cos a}$

Шаг 5. Вынесем общий множитель $2 \cos a$ из знаменателя:

$2 \sin a \cos a + 2 \sin 3 a \cos a = 2 \cos a (\sin a + \sin 3 a)$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{4 \cos 2 a \cdot \cos a}{2 \cos a (\sin a + \sin 3 a)} = \frac{4 \cos 2 a \cdot \cos a}{2 \cos a (\sin a + \sin 3 a)}$

Шаг 6. Сократим на $2 \cos a$ :

$\frac{4 \cos 2 a \cdot \cos a}{2 \cos a (\sin a + \sin 3 a)} = \frac{2 \cos 2 a}{\sin a + \sin 3 a}$

Шаг 7. Упростим знаменатель с помощью формулы суммы синусов:

$\sin a + \sin 3 a = 2 \sin \frac{a + 3 a}{2} \cdot \cos \frac{a - 3 a}{2} = 2 \sin 2 a \cdot \cos (- a) = 2 \sin 2 a \cdot \cos a$

Шаг 8. Подставим обратно:

$\frac{2 \cos 2 a}{2 \sin 2 a \cdot \cos a} = \frac{\cos 2 a}{\sin 2 a \cdot \cos a}$

Шаг 9. Распишем как произведение:

$\frac{\cos 2 a}{\sin 2 a \cdot \cos a} = \frac{\cos 2 a}{\sin 2 a} \cdot \frac{1}{\cos a}$

Шаг 10. По определению котангенса:

$\frac{\cos 2 a}{\sin 2 a} = \cot 2 a$

Ответ для пункта 1:

$\frac{\cot 2 a}{\cos a}$

2)

Исходное выражение:

$\frac{1 + \sin a - \cos 2 a - \sin 3 a}{2 \sin^{2} a + \sin a - 1}$

Шаг 1. Используем тождество $1 = \sin^{2} a + \cos^{2} a$ в числителе:

$1 + \sin a - \cos 2 a - \sin 3 a = (\sin^{2} a + \cos^{2} a) + \sin a - \cos 2 a - \sin 3 a$

Шаг 2. Раскроем $\cos 2 a$ по формуле:

$\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a$

Подставим:

$\sin^{2} a + \cos^{2} a + \sin a - (\cos^{2} a - \sin^{2} a) - \sin 3 a =$

$= \sin^{2} a + \cos^{2} a + \sin a - \cos^{2} a + \sin^{2} a - \sin 3 a$

Шаг 3. Сократим:

$\sin^{2} a + \cos^{2} a - \cos^{2} a = \sin^{2} a$

Итого:

$2 \sin^{2} a + \sin a - \sin 3 a$

Шаг 4. Представим $\sin 3 a$ через сумму углов:

$\sin 3 a = \sin (a + 2 a) = \sin a \cos 2 a + \cos a \sin 2 a$

Но проще применить формулу суммы синусов:

$\sin 3 a = \sin a + 2 \sin \frac{3 a - a}{2} \cos \frac{3 a + a}{2}$

Проверим другой путь — воспользуемся формулой разности синусов.

Но проще применить формулу разности синусов в числителе.

Перепишем числитель так:

$2 \sin^{2} a + \sin a - \sin 3 a = 2 \sin^{2} a + (\sin a - \sin 3 a)$

Используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}$

Подставляем $x = a$ , $y = 3 a$ :

$\sin a - \sin 3 a = 2 \cos \frac{a + 3 a}{2} \sin \frac{a - 3 a}{2} = 2 \cos 2 a \sin (- a) = - 2 \cos 2 a \sin a$

Шаг 5. Получаем числитель:

$2 \sin^{2} a - 2 \cos 2 a \sin a = 2 \sin a (\sin a - \cos 2 a)$

Шаг 6. Рассмотрим знаменатель:

$2 \sin^{2} a + \sin a - 1$

Опять применим $1 = \sin^{2} a + \cos^{2} a$ :

$2 \sin^{2} a + \sin a - (\sin^{2} a + \cos^{2} a) = \sin^{2} a + \sin a - \cos^{2} a$

Шаг 7. Используем тождество для $\cos 2 a$ :

$\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a ⟹ \cos^{2} a = \cos 2 a + \sin^{2} a$

Подставим в знаменатель:

$\sin^{2} a + \sin a - (\cos 2 a + \sin^{2} a) = \sin a - \cos 2 a$

Шаг 8. Получаем выражение:

$\frac{2 \sin a (\sin a - \cos 2 a)}{\sin a - \cos 2 a}$

Шаг 9. При $\sin a - \cos 2 a \neq 0$ сокращаем на $\sin a - \cos 2 a$ :

$= 2 \sin a$

Ответ для пункта 2:

$2 \sin a$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра