ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 541 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. $$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a}$$
2. $$$$$$\frac{1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a}{2{\sin }^{2}a+\sin a-1}$$

1. $$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a}=\frac{2\cdot 2\cdot \cos \frac{a+3a}{2}\cdot \cos \frac{a-3a}{2}}{\sin 2a+2\cdot \sin \frac{2a+4a}{2}\cdot \cos \frac{2a-4a}{2}}=$$$$=\frac{4\cdot \cos \frac{4a}{2}\cdot \cos (-\frac{2a}{2})}{\sin 2a+2\cdot \sin \frac{6a}{2}\cdot \cos (-\frac{2a}{2})}=\frac{4\cdot \cos 2a\cdot \cos a}{2\cdot \sin a\cdot \cos a+2\cdot \sin 3a\cdot \cos a}=$$$$=\frac{2\cdot \cos 2a\cdot \cos a}{\cos a\cdot (\sin a+\sin 3a)}=\frac{2\cdot \cos 2a}{\sin a+\sin 3a}=\frac{2\cdot \cos 2a}{2\cdot \sin \frac{2+3a}{2}\cdot \cos \frac{a-3a}{2}}=$$$$=\frac{\cos 2a}{\sin \frac{4a}{2}\cdot \cos (-\frac{2a}{2})}=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \frac{1}{\cos a}=\frac{\mathrm{ctg}2a}{\cos a};$$

2. $$\frac{1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a}{2{\sin }^{2}a+\sin a-1}=$$$$=\frac{({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\cdot \sin \frac{a-3a}{2}\cdot \cos \frac{a+3a}{2}}{2{\sin }^{2}a+\sin a-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)}=$$$$=\frac{2{\sin }^{2}a+2\cdot \sin (-\frac{2a}{2})\cdot \cos \frac{4a}{2}}{{\sin }^{2}a+\sin a-{\cos }^{2}a}=\frac{2{\sin }^{2}a-2\sin a\cdot \cos 2a}{\sin a-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)}=$$$$=\frac{2\sin a(\sin a-\cos 2a)}{\sin a-\cos 2a}=2\sin a$$

1)

Исходное выражение:

$$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a}$$

Шаг 1. Применяем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cdot \cos \frac{x-y}{2}$$

Для числителя $\cos a+\cos 3a$ получаем:

$$\cos a+\cos 3a=2\cos \frac{a+3a}{2}\cdot \cos \frac{a-3a}{2}=2\cos 2a\cdot \cos (-a)$$

Поскольку $\cos (-x)=\cos x$, тогда:

$$\cos a+\cos 3a=2\cos 2a\cdot \cos a$$

Подставляем это обратно в числитель:

$$2(\cos a+\cos 3a)=2\cdot 2\cos 2a\cdot \cos a=4\cos 2a\cdot \cos a$$

Шаг 2. Рассмотрим знаменатель:

$$2\sin 2a+\sin 4a$$

Выделим здесь сумму синусов, чтобы упростить. Формула суммы синусов:

$$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cdot \cos \frac{x-y}{2}$$

Но у нас $2\sin 2a$ + $\sin 4a$, здесь проще представить $2\sin 2a$ как $\sin 2a+\sin 2a$, а потом сложить с $\sin 4a$.

Или, лучше, перепишем знаменатель как:

$$2\sin 2a+\sin 4a=\sin 2a+\sin 2a+\sin 4a$$

Сначала сложим $\sin 2a+\sin 4a$:

$$\sin 2a+\sin 4a=2\sin \frac{2a+4a}{2}\cdot \cos \frac{2a-4a}{2}=2\sin 3a\cdot \cos (-a)=2\sin 3a\cdot \cos a$$

Подставим обратно:

$$2\sin 2a+\sin 4a=\sin 2a+2\sin 3a\cdot \cos a$$

Шаг 3. Подставим результаты в исходное выражение:

$$\frac{4\cos 2a\cdot \cos a}{\sin 2a+2\sin 3a\cdot \cos a}$$

Шаг 4. Представим $\sin 2a$ через формулу двойного угла:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$

Подставим:

$$\frac{4\cos 2a\cdot \cos a}{2\sin a\cos a+2\sin 3a\cos a}$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель $2\cos a$ из знаменателя:

$$2\sin a\cos a+2\sin 3a\cos a=2\cos a(\sin a+\sin 3a)$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{4\cos 2a\cdot \cos a}{2\cos a(\sin a+\sin 3a)}=\frac{4\cos 2a\cdot \cos a}{2\cos a(\sin a+\sin 3a)}$$

Шаг 6. Сократим на $2\cos a$:

$$\frac{4\cos 2a\cdot \cos a}{2\cos a(\sin a+\sin 3a)}=\frac{2\cos 2a}{\sin a+\sin 3a}$$

Шаг 7. Упростим знаменатель с помощью формулы суммы синусов:

$$\sin a+\sin 3a=2\sin \frac{a+3a}{2}\cdot \cos \frac{a-3a}{2}=2\sin 2a\cdot \cos (-a)=2\sin 2a\cdot \cos a$$

Шаг 8. Подставим обратно:

$$\frac{2\cos 2a}{2\sin 2a\cdot \cos a}=\frac{\cos 2a}{\sin 2a\cdot \cos a}$$

Шаг 9. Распишем как произведение:

$$\frac{\cos 2a}{\sin 2a\cdot \cos a}=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \frac{1}{\cos a}$$

Шаг 10. По определению котангенса:

$$\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\cot 2a$$

Ответ для пункта 1:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\cot 2a}{\cos a}}}$$

2)

Исходное выражение:

$$\frac{1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a}{2{\sin }^{2}a+\sin a-1}$$

Шаг 1. Используем тождество $1={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a$ в числителе:

$$1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)+\sin a-\cos 2a-\sin 3a$$

Шаг 2. Раскроем $\cos 2a$ по формуле:

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$$

Подставим:

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+\sin a-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)-\sin 3a=$$

$$={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+\sin a-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a-\sin 3a$$

Шаг 3. Сократим:

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\cos }^{2}a={\sin }^{2}a$$

Итого:

$$2{\sin }^{2}a+\sin a-\sin 3a$$

Шаг 4. Представим $\sin 3a$ через сумму углов:

$$\sin 3a=\sin (a+2a)=\sin a\cos 2a+\cos a\sin 2a$$

Но проще применить формулу суммы синусов:

$$\sin 3a=\sin a+2\sin \frac{3a-a}{2}\cos \frac{3a+a}{2}$$

Проверим другой путь — воспользуемся формулой разности синусов.

Но проще применить формулу разности синусов в числителе.

Перепишем числитель так:

$$2{\sin }^{2}a+\sin a-\sin 3a=2{\sin }^{2}a+(\sin a-\sin 3a)$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$$

Подставляем $x=a$, $y=3a$:

$$\sin a-\sin 3a=2\cos \frac{a+3a}{2}\sin \frac{a-3a}{2}=2\cos 2a\sin (-a)=-2\cos 2a\sin a$$

Шаг 5. Получаем числитель:

$$2{\sin }^{2}a-2\cos 2a\sin a=2\sin a(\sin a-\cos 2a)$$

Шаг 6. Рассмотрим знаменатель:

$$2{\sin }^{2}a+\sin a-1$$

Опять применим $1={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a$:

$$2{\sin }^{2}a+\sin a-({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)={\sin }^{2}a+\sin a-{\cos }^{2}a$$

Шаг 7. Используем тождество для $\cos 2a$:

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a⟹{\cos }^{2}a=\cos 2a+{\sin }^{2}a$$

Подставим в знаменатель:

$${\sin }^{2}a+\sin a-(\cos 2a+{\sin }^{2}a)=\sin a-\cos 2a$$

Шаг 8. Получаем выражение:

$$\frac{2\sin a(\sin a-\cos 2a)}{\sin a-\cos 2a}$$

Шаг 9. При $\sin a-\cos 2a\mathrm{\ne }0$ сокращаем на $\sin a-\cos 2a$:

$$=2\sin a$$

Ответ для пункта 2:

$$\boxed{{\displaystyle 2\sin a}}$$