ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 540 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. $$\frac{\sin a+\sin 3a}{\cos a+\cos 3a}=\mathrm{tg}2a$$
2. $$\frac{\sin 2a+\sin 4a}{\cos 2a-\cos 4a}=\mathrm{ctg}a$$

1.

$$\frac{\sin a + \sin 3a}{\cos a + \cos 3a} = \operatorname{tg} 2a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin \frac{a + 3a}{2} \cdot \cos \frac{a — 3a}{2}}{2 \cdot \cos \frac{a + 3a}{2} \cdot \cos \frac{a — 3a}{2}} = \operatorname{tg} 2a;$$ $$\frac{\sin \frac{4a}{2}}{\cos \frac{4a}{2}} = \operatorname{tg} 2a;$$ $$\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \operatorname{tg} 2a;$$ $$\operatorname{tg} 2a = \operatorname{tg} 2a;$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{\sin 2a + \sin 4a}{\cos 2a — \cos 4a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin \frac{2a + 4a}{2} \cdot \cos \frac{2a — 4a}{2}}{-2 \cdot \sin \frac{2a + 4a}{2} \cdot \sin \frac{2a — 4a}{2}} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{\cos \left(-\frac{2a}{2}\right)}{\sin \left(-\frac{2a}{2}\right)} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\operatorname{ctg} a = \operatorname{ctg} a;$$

Тождество доказано.

1)

Докажем тождество:

$$\frac{\sin a + \sin 3a}{\cos a + \cos 3a} = \tg 2a$$

Шаг 1: Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = a$
• $B = 3a$

Тогда:

$$\sin a + \sin 3a = 2 \cdot \sin\left( \frac{a + 3a}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{a — 3a}{2} \right) = 2 \cdot \sin 2a \cdot \cos a$$

Шаг 2: Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = a$
• $B = 3a$

Тогда:

$$\cos a + \cos 3a = 2 \cdot \cos 2a \cdot \cos a$$

Шаг 3: Подставим всё в выражение:

$$\frac{2 \cdot \sin 2a \cdot \cos a}{2 \cdot \cos 2a \cdot \cos a}$$

Сокращаем $2 \cdot \cos a$ (если $\cos a \ne 0$):

$$\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \tg 2a$$

Вывод:

$$\tg 2a = \tg 2a$$

Тождество доказано.

2)

Докажем тождество:

$$\frac{\sin 2a + \sin 4a}{\cos 2a — \cos 4a} = \ctg a$$

Шаг 1: Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 2a$
• $B = 4a$

Тогда:

$$\sin 2a + \sin 4a = 2 \cdot \sin 3a \cdot \cos a$$

Шаг 2: Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 2a$
• $B = 4a$

Тогда:

$$\cos 2a — \cos 4a = -2 \cdot \sin 3a \cdot \sin (-a) = 2 \cdot \sin 3a \cdot \sin a$$

(так как $\sin(-a) = -\sin a$)

Шаг 3: Подставим всё в выражение:

$$\frac{2 \cdot \sin 3a \cdot \cos a}{2 \cdot \sin 3a \cdot \sin a}$$

Сокращаем $2 \cdot \sin 3a$ (если $\sin 3a \ne 0$):

$$\frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

Вывод:

$$\ctg a = \ctg a$$

Тождество доказано.