ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 536 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до пи/4.

Пусть $\alpha$ — некоторый угол, равный:

$$\alpha = \pi n + \beta, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \text{ и } \beta \in [0; \pi];$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} \pm \gamma, \text{ где } \gamma \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right];$$ $$\gamma = 2\varphi, \text{ где } \varphi \in \left[ 0; \frac{\pi}{4} \right];$$

Если число $n$ — четное, тогда:

$$\sin \alpha = \sin (\pi n + \beta) = \sin \beta;$$ $$\cos \alpha = \cos (\pi n + \beta) = \cos \beta;$$

Если число $n$ — нечетное, тогда:

$$\sin \alpha = \sin (\pi n + \beta) = -\sin \beta;$$ $$\cos \alpha = \cos (\pi n + \beta) = -\cos \beta;$$

В любом случае получаем:

$$\sin \alpha = \pm \sin \beta = \pm \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \gamma \right) = \pm \cos \gamma;$$ $$\cos \alpha = \pm \cos \beta = \pm \cos \left( \frac{\pi}{2} \pm \gamma \right) = \pm \sin (\pm \gamma) = \mp \sin \gamma;$$

По формулам косинуса и синуса двойного угла:

$$\cos \gamma = \cos 2\varphi = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi;$$ $$\sin \gamma = \sin 2\varphi = 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi;$$

Косинус и котангенс можно представить в виде:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$$

Таким образом, вычисление значения тригонометрической функции для любого угла сводится к вычислению ее значения для угла, заключенного в промежутке от $0$ до $\frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Исходные обозначения

Пусть $\alpha$ — некоторый угол. Он задан в виде:

$$\alpha = \pi n + \beta, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}, \quad \beta \in [0; \pi]$$

Далее:

$$\beta = \frac{\pi}{2} \pm \gamma, \quad \text{где } \gamma \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$$

И далее:

$$\gamma = 2\varphi, \quad \text{где } \varphi \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$$

Шаг 1: Преобразование $\alpha$ с чётным или нечётным $n$

Случай 1: $n$ — чётное число

Из тригонометрических свойств:

$$\sin(\pi n + \beta) = \sin \beta, \quad \cos(\pi n + \beta) = \cos \beta$$

Поскольку при чётном $n$, $\pi n$ кратно $2\pi$, и синус/косинус не меняют знак.

Случай 2: $n$ — нечётное число

$$\sin(\pi n + \beta) = -\sin \beta, \quad \cos(\pi n + \beta) = -\cos \beta$$

Потому что $\pi n = \pi (2k + 1) = \pi + 2\pi k$, и прибавление $\pi$ меняет знак функции:

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x$

Вывод:

В любом случае:

$$\sin \alpha = \pm \sin \beta, \quad \cos \alpha = \pm \cos \beta$$

Шаг 2: Подставим $\beta = \frac{\pi}{2} \pm \gamma$

Используем формулы приведения:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} \pm x\right) = \cos x$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} \pm x\right) = \sin x$ с учётом знаков:
  • $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$
  • $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$

Тогда:

$$\sin \beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \gamma\right) = \cos \gamma \Rightarrow \sin \alpha = \pm \cos \gamma$$ $$\cos \beta = \cos\left(\frac{\pi}{2} \pm \gamma\right) = \pm \sin \gamma \Rightarrow \cos \alpha = \pm \cos \beta = \mp \sin \gamma$$

Знак зависит от выбора $+$ или $−$ в $\beta$, и от чётности $n$.

Шаг 3: Выражение через $\varphi$, так как $\gamma = 2\varphi$

Применим стандартные формулы двойного угла:

$$\cos \gamma = \cos 2\varphi = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi$$ $$\sin \gamma = \sin 2\varphi = 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi$$

Тогда:

$$\sin \alpha = \pm \cos \gamma = \pm(\cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi)$$ $$\cos \alpha = \mp \sin \gamma = \mp(2 \sin \varphi \cos \varphi)$$

Шаг 4: Выражение для $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$

Тангенс:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \cos \gamma}{\mp \sin \gamma} = \mp \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}$$

Подставим выражения через $\varphi$:

$$\operatorname{tg} \alpha = \mp \frac{\cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi}{2 \sin \varphi \cos \varphi}$$

Котангенс:

$$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\mp \sin \gamma}{\pm \cos \gamma} = \mp \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma}$$

Подставим:

$$\operatorname{ctg} \alpha = \mp \frac{2 \sin \varphi \cos \varphi}{\cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi}$$

Мы выразили любую тригонометрическую функцию от произвольного угла $\alpha$ через:

• $\varphi \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$, то есть угол в первом квадранте, удобный для табличных значений и приближений.
• Использовали чётность $n$, преобразования, формулы приведения и двойного угла.

Вывод

Вычисление тригонометрической функции от произвольного угла можно свести к вычислению функции от угла, лежащего в интервале $[0; \frac{\pi}{4}]$ — самого простого и удобного с вычислительной точки зрения.