ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 535 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. cos(пи/2 — 1)=1;
2. sin(3пи/2 + x)=1;
3. cos(x-пи)=0;
4. sin(x-пи/2)=1;
5. sin(2x+3пи)sin(3x+3пи/2) — sin3xcos2x=-1;
6. sin(5x-3пи/2)cos(2x+4пи) — sin(5x+пи) sin2x=0.

1.

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = 1;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2.

$$\sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = 1;$$ $$-\cos x = 1;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \arccos(-1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

3.

$$\cos(x — \pi) = 0;$$ $$\cos(-2\pi + (\pi + x)) = 0;$$ $$\cos(\pi + x) = 0;$$ $$-\cos x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

4.

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{2} \right) = 1;$$ $$\sin \left( -2\pi + \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \right) = 1;$$ $$\sin \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = 1;$$ $$-\cos x = 1;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \arccos(-1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

5.

$$\sin(2x + 3\pi) \cdot \sin \left( 3x + \frac{3\pi}{2} \right) — \sin 3x \cdot \cos 2x = -1;$$ $$\sin(\pi + 2x) \cdot (-\cos 3x) — \sin 3x \cdot \cos 2x = -1;$$ $$\sin 2x \cdot \cos 3x — \sin 3x \cdot \cos 2x = -1;$$ $$\frac{1}{2} \left( \sin(2x + 3x) + \sin(2x — 3x) \right) — \frac{1}{2} \left( \sin(3x + 2x) + \sin(3x — 2x) \right) = -1;$$ $$\frac{\sin 5x + \sin(-x)}{2} — \frac{\sin 5x + \sin x}{2} = -1;$$ $$-\sin x = -1;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

6.

$$\sin \left( 5x — \frac{3\pi}{2} \right) \cdot \cos(2x + 4\pi) — \sin(5x + \pi) \cdot \sin 2x = 0;$$ $$\sin \left( -2\pi + \left( \frac{\pi}{2} + 5x \right) \right) \cdot \cos 2x + \sin 5x \cdot \sin 2x = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + 5x \right) \cdot \cos 2x + \sin 5x \cdot \sin 2x = 0;$$ $$\cos 5x \cdot \cos 2x + \sin 5x \cdot \sin 2x = 0;$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos(5x + 2x) + \cos(5x — 2x) \right) + \frac{1}{2} \left( \cos(5x — 2x) — \cos(5x + 2x) \right) = 0;$$ $$\frac{\cos 7x + \cos 3x}{2} + \frac{\cos 3x — \cos 7x}{2} = 0;$$ $$\cos 3x = 0;$$ $$3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

1)

Условие:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = 1$$

Шаг 1: Используем формулу приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$$

Шаг 2: Подставим:

$$\sin x = 1$$

Шаг 3: Решим уравнение:

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$

2)

Условие:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 1$$

Шаг 1: Формула приведения:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$$

Шаг 2: Подставим:

$$-\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -1$$

Шаг 3: Решим уравнение:

$$\cos x = -1 \Rightarrow x = \arccos(-1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\pi + 2\pi n}$

3)

Условие:

$$\cos(x — \pi) = 0$$

Шаг 1: Преобразуем аргумент:

$$x — \pi = \pi + x — 2\pi = -2\pi + (\pi + x) \Rightarrow \cos(x — \pi) = \cos(-2\pi + \pi + x)$$

Шаг 2: Учитывая периодичность:

$$\cos(-2\pi + \pi + x) = \cos(\pi + x)$$

Шаг 3: Свойство:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x$$

Шаг 4: Подставим:

$$-\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$$

Шаг 5: Решение:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}$

4)

Условие:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = 1$$

Шаг 1: Перепишем через период:

$$x — \frac{\pi}{2} = -2\pi + \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \Rightarrow \sin\left(x — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-2\pi + \left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\right)$$

Шаг 2: Период синуса:

$$\sin(-2\pi + \frac{3\pi}{2} + x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$$

Шаг 3: Формула:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$$

Шаг 4: Подставим:

$$-\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -1$$

Шаг 5: Решим:

$$x = \arccos(-1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\pi + 2\pi n}$

5)

Условие:

$$\sin(2x + 3\pi)\cdot\sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right) — \sin 3x \cdot \cos 2x = -1$$

Шаг 1: Преобразуем углы:

• $\sin(2x + 3\pi) = \sin(\pi + 2x) = -\sin 2x$
• $\sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right) = -\cos 3x$

Шаг 2: Подставим:

$$(-\sin 2x) \cdot (-\cos 3x) — \sin 3x \cdot \cos 2x = \sin 2x \cdot \cos 3x — \sin 3x \cdot \cos 2x$$

Шаг 3: Применим формулу:

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Первая пара:

$$\sin 2x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(-x)]$$

Вторая пара:

$$\sin 3x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin x]$$

Шаг 4: Вычитаем:

$$\frac{\sin 5x + \sin(-x)}{2} — \frac{\sin 5x + \sin x}{2} \Rightarrow \frac{\sin(-x) — \sin x}{2} = -\sin x$$

Шаг 5: Решим:

$$-\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$

6)

Условие:

$$\sin\left(5x — \frac{3\pi}{2}\right)\cdot\cos(2x + 4\pi) — \sin(5x + \pi)\cdot\sin 2x = 0$$

Шаг 1: Упростим выражения:

• $\cos(2x + 4\pi) = \cos 2x$ (период $2\pi$)
• $\sin(5x — \frac{3\pi}{2}) = \sin(-2\pi + (\frac{\pi}{2} + 5x)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 5x) = \cos 5x$
• $\sin(5x + \pi) = -\sin 5x$

Шаг 2: Подставим:

$$\cos 5x \cdot \cos 2x + \sin 5x \cdot \sin 2x = 0$$

Шаг 3: Формула:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B)$$ $$\Rightarrow \cos(5x — 2x) = \cos 3x = 0$$

Шаг 4: Решим:

$$\cos 3x = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}}$