ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 534 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

Пусть $a, b, c$ — градусные меры углов треугольника;

1. По теореме о сумме углов треугольника:

$$a + b + c = 180^\circ, \text{ отсюда } a + b = 180^\circ — c;$$

2. Докажем тождество:

$$\sin(a + b) = \sin c;$$ $$\sin(180^\circ — c) = \sin c;$$ $$\sin(\pi — c) = \sin c;$$ $$\sin c = \sin c;$$

Тождество доказано.

Условие:

Пусть $a$, $b$, $c$ — градусные меры углов треугольника.

1. Сумма углов треугольника

Шаг 1: Используем геометрическое свойство

В любом треугольнике сумма всех трёх внутренних углов равна $180^\circ$ (или $\pi$ в радианах):

$$a + b + c = 180^\circ$$

Шаг 2: Выразим сумму двух углов

Переносим угол $c$ в правую часть:

$$a + b = 180^\circ — c$$

Это ключевой шаг для доказательства нужного тождества.

2. Доказательство тождества

Докажем, что:

$$\sin(a + b) = \sin c$$

Шаг 3: Подставим ранее найденное выражение

Из пункта 1:

$$a + b = 180^\circ — c \quad \Rightarrow \quad \sin(a + b) = \sin(180^\circ — c)$$

Шаг 4: Используем формулу приведения

$$\sin(180^\circ — x) = \sin x$$

Это стандартное тригонометрическое тождество, отражающее симметрию функции синуса относительно $90^\circ$.

Применим его:

$$\sin(180^\circ — c) = \sin c$$

Шаг 5: Подставим обратно

$$\sin(a + b) = \sin(180^\circ — c) = \sin c$$

Альтернатива: в радианах

Если все углы даны в радианах (что часто бывает в математике), то:

• $180^\circ = \pi$
• $\Rightarrow a + b + c = \pi \Rightarrow a + b = \pi — c$

Тогда:

$$\sin(a + b) = \sin(\pi — c) = \sin c$$

(аналогично, используется тождество: $\sin(\pi — x) = \sin x$)

Шаг 6: Финал

$$\sin(a + b) = \sin c \Rightarrow \sin c = \sin c$$

Тождество доказано.