ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 532 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество (532—533).

1. sin (пи/4 + a) — cos(пи/4-a)=0;
2. cos (пи/6 — a) — sin(пи/3+ a)=0;
3. sin (3пи/2 — a)/tg(пи+a) * ctg(пи/2+a)/ tg(a- 3пи/2)=-sina.

$\sin \left(\frac{\pi}{4} + a\right) — \cos \left(\frac{\pi}{4} — a\right) = 0;$

$\sin \left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — a\right)\right) — \cos \left(\frac{\pi}{4} — a\right) = 0;$

$\cos \left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \cos \left(\frac{\pi}{4} — a\right) = 0;$

$0 = 0;$

Тождество доказано.

$\cos \left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \sin \left(\frac{\pi}{3} + a\right) = 0;$

$\cos \left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \sin \left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} — a\right)\right) = 0;$

$\cos \left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \cos \left(\frac{\pi}{6} — a\right) = 0;$

$0 = 0;$

Тождество доказано.

3. $\frac{\sin \left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cdot \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} + a\right)}{\operatorname{tg}(\pi + a) \cdot \operatorname{tg} \left(a — \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin a;$

$\frac{-\cos a \cdot \frac{-\operatorname{tg} a}{\operatorname{tg} \left(\pi — \left(\frac{\pi}{2} + a\right)\right)}}{\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \left(a — \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin a;$

$\frac{\cos a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + a\right)}}{1} = -\sin a;$

$\cos a \cdot \left(-\frac{\sin a}{\cos a}\right) = -\sin a;$

$-\sin a = -\sin a;$

Тождество доказано.

1)

Доказать тождество:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = 0$$

Шаг 1: Преобразуем синус суммы в синус разности

Заметим, что:

$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — a\right)$$

То есть:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — a\right)\right)$$

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$$

Следовательно:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — a\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$$

Шаг 3: Подставляем обратно

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = 0$$ $$0 = 0$$

Тождество доказано.

2)

Доказать тождество:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = 0$$

Шаг 1: Представим $\frac{\pi}{3} + a$ как разность

$$\frac{\pi}{3} + a = \frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} — a\right)$$

Пояснение:

$$\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} — a\right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + a = \frac{\pi}{3} + a$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} — a\right)\right)$$

Шаг 3: Используем тождество

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$$ $$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} — a\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} — a\right)$$

Шаг 4: Подставим

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — a\right) — \cos\left(\frac{\pi}{6} — a\right) = 0$$ $$0 = 0$$

Тождество доказано.

3)

Доказать тождество:

$$\frac{\sin \left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cdot \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} + a\right)}{\operatorname{tg}(\pi + a) \cdot \operatorname{tg} \left(a — \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin a$$

Шаг 1: Упростим числитель

Разберем по отдельности:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) = -\cos a$

Пояснение:
$\sin(x — a) = \sin x \cos a — \cos x \sin a$
Но проще знать:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) = -\cos a \quad \text{(из таблицы значений)}$$

• $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$

Вспомним:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\operatorname{tg} a$$

Значит числитель:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = (-\cos a) \cdot (-\operatorname{tg} a) = \cos a \cdot \operatorname{tg} a$$

Шаг 2: Упростим знаменатель

Разберем:

• $\operatorname{tg}(\pi + a) = \operatorname{tg} a$
• $\operatorname{tg}(a — \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{tg}(-\frac{3\pi}{2} + a) = \operatorname{tg}\left(-\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)$

Но:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) = \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} — a\right)} = \frac{-\cos a}{-\sin a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a$$

Следовательно:

$$\operatorname{tg}(a — \frac{3\pi}{2}) = -\operatorname{ctg} a$$

Итак, знаменатель:

$$\operatorname{tg} a \cdot \left(-\operatorname{ctg} a\right) = -\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$$

Шаг 3: Соберём всё вместе

Числитель:

$$\cos a \cdot \operatorname{tg} a$$

Знаменатель:

$$— \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a$$

Шаг 4: Сократим $\operatorname{tg} a$

$$\frac{\cos a \cdot \operatorname{tg} a}{- \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a} = \frac{\cos a}{-\operatorname{ctg} a}$$

Шаг 5: Подставим $\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}$

$$\frac{\cos a}{-\frac{\cos a}{\sin a}} = -\sin a$$

Шаг 6: Финал

$$— \sin a = — \sin a$$

Тождество доказано.