ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 531 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. cos 23пи/4 — sin 15пи/4 — ctg (-11пи/2);
2. sin 25пи/3 — cos(-17пи/2) — tg 10пи/3;
3. sin(-7пи) — 2cos 31пи/3 — tg 7пи/4;
4. cos(-9пи) + 2 sin(-49пи/6) — ctg(- 21пи/4).

$\mathrm{1.\; cos}\frac{23\pi }{4}-\sin \frac{15\pi }{4}-\mathrm{ctg}(-\frac{11\pi }{2})=$

$=\cos (6\pi -\frac{\pi }{4})-\sin (4\pi -\frac{\pi }{4})-\mathrm{ctg}(-6\pi +\frac{\pi }{2})=$

$=\cos (-\frac{\pi }{4})-\sin (-\frac{\pi }{4})-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}-0=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2};$

$\mathrm{2.\; sin}\frac{25\pi }{3}-\cos (-\frac{17\pi }{2})-\mathrm{tg}\frac{10\pi }{3}=$

$=\sin (8\pi +\frac{\pi }{3})-\cos (-8\pi -\frac{\pi }{2})-\mathrm{tg}(3\pi +\frac{\pi }{3})=$

$=\sin \frac{\pi }{3}-\cos (-\frac{\pi }{2})-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos \frac{\pi }{2}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-0-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\mathrm{3.\; sin}(-7\pi )-2\cos \frac{31\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{4}=$

$=\sin (-8\pi +\pi )-2\cos (10\pi +\frac{\pi }{3})-\mathrm{tg}(2\pi -\frac{\pi }{4})=$

$=\sin \pi -2\cos \frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{4})=0-2\cdot \frac{1}{2}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=-1+1=0;$

$\mathrm{4.\; cos}(-9\pi )+2\sin (-\frac{49\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{4})=$

$=\cos (-10\pi +\pi )+2\sin (-8\pi -\frac{\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-5\pi -\frac{\pi }{4})=$

$=\cos \pi +2\sin (-\frac{\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})=-1-2\cdot \frac{1}{2}+1=-1$

1) $\cos \frac{23\pi }{4}-\sin \frac{15\pi }{4}-\mathrm{ctg}(-\frac{11\pi }{2})$

Шаг 1: Приведём углы к промежутку от $0$ до $2\pi$

$\frac{23\pi }{4}=5\cdot 2\pi +\frac{3\pi }{4}=6\pi -\frac{\pi }{4}$

$$\cos \frac{23\pi }{4}=\cos (6\pi -\frac{\pi }{4})$$

$\frac{15\pi }{4}=4\cdot 2\pi -\frac{\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$

$$\sin \frac{15\pi }{4}=\sin (4\pi -\frac{\pi }{4})$$

$-\frac{11\pi }{2}=-6\pi +\frac{\pi }{2}$

$$\mathrm{ctg}(-\frac{11\pi }{2})=\mathrm{ctg}(-6\pi +\frac{\pi }{2})$$

Шаг 2: Используем периодичность и знаки функций

• $\cos (2\pi n+\alpha )=\cos \alpha$
• $\sin (2\pi n+\alpha )=\sin \alpha$
• $\mathrm{ctg}(2\pi n+\alpha )=\mathrm{ctg}\alpha$

Также:

• $\cos (-x)=\cos x$
• $\sin (-x)=-\sin x$
• $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$

Шаг 3: Применяем формулы

$$\cos (6\pi -\frac{\pi }{4})=\cos (-\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}$$$$\sin (4\pi -\frac{\pi }{4})=\sin (-\frac{\pi }{4})=-\sin \frac{\pi }{4}$$$$\mathrm{ctg}(-6\pi +\frac{\pi }{2})=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}=0$$

Шаг 4: Подставим численные значения

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-0=\sqrt{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}}}$

2) $\sin \frac{25\pi }{3}-\cos (-\frac{17\pi }{2})-\mathrm{tg}\frac{10\pi }{3}$

Шаг 1: Приведём углы

$\frac{25\pi }{3}=8\pi +\frac{\pi }{3}$

$$\sin (8\pi +\frac{\pi }{3})=\sin \frac{\pi }{3}$$

$-\frac{17\pi }{2}=-8\pi -\frac{\pi }{2}$

$$\cos (-\frac{17\pi }{2})=\cos (-8\pi -\frac{\pi }{2})=\cos (-\frac{\pi }{2})$$

$\frac{10\pi }{3}=3\pi +\frac{\pi }{3}$

$$\mathrm{tg}(3\pi +\frac{\pi }{3})=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$$

Шаг 2: Используем свойства функций

• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos (-\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}=0$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

Шаг 3: Подставим значения

$$\frac{\sqrt{3}}{2}-0-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

3) $\sin (-7\pi )-2\cos \frac{31\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{4}$

Шаг 1: Приведение к базовым углам

$-7\pi =-8\pi +\pi \Rightarrow \sin (-8\pi +\pi )=\sin \pi$

$$\sin (-7\pi )=\sin \pi =0$$

$\frac{31\pi }{3}=10\pi +\frac{\pi }{3}\Rightarrow \cos (10\pi +\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{3}$

$\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{tg}(2\pi -\frac{\pi }{4})=\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{4})=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$

Шаг 2: Значения

• $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$

$$\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{4})=-1$$

Шаг 3: Подставим

$$0-2\cdot \frac{1}{2}-(-1)=-1+1=0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

4) $\cos (-9\pi )+2\sin (-\frac{49\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{4})$

Шаг 1: Приведём углы

$-9\pi =-10\pi +\pi \Rightarrow \cos (-9\pi )=\cos \pi$

$-\frac{49\pi }{6}=-8\pi -\frac{\pi }{6}\Rightarrow \sin (-8\pi -\frac{\pi }{6})=\sin (-\frac{\pi }{6})$

$-\frac{21\pi }{4}=-5\pi -\frac{\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{4})=\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})$

Шаг 2: Значения

• $\cos \pi =-1$
• $\sin (-\frac{\pi }{6})=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$
• $\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})=-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=-1$

Шаг 3: Подставим

$$-1+2\cdot (-\frac{1}{2})-(-1)=-1-1+1=-1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -1}}$

Итоговые ответы:

1. $\sqrt{2}$
2. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $0$
4. $-1$