ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 529 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. cos 750;
2. sin 1140;
3. tg 405;
4. cos 840;
5. sin 47пи/6;
6. tg 25пи/4;
7. ctg 27 пи/4;
8. cos 21 пи/4.

1. $\cos 750^\circ = \cos (2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
2. $\sin 1140^\circ = \sin (3 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
3. $\operatorname{tg} 405^\circ = \operatorname{tg}(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$;
4. $\cos 840^\circ = \cos (2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ = \cos (180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$;
5. $\sin \frac{47\pi}{6} = \sin 7 \frac{5\pi}{6} = \sin \left(8\pi — \frac{\pi}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;
6. $\operatorname{tg} \frac{25\pi}{4} = \operatorname{tg} 6 \frac{\pi}{4} = \operatorname{tg} \left(6\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$;
7. $\operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4} = \operatorname{ctg} 6 \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left(7\pi — \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$;
8. $\cos \frac{21\pi}{4} = \cos 5 \frac{\pi}{4} = \cos \left(4\pi + \pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1) $\cos 750^\circ$

Шаг 1. Вычтем полные обороты:
$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ = 720^\circ + 30^\circ$

Шаг 2. Учитываем периодичность косинуса:

$$\cos 750^\circ = \cos 30^\circ$$

Шаг 3. Знаем по таблице:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

2) $\sin 1140^\circ$

Шаг 1. Убираем полные обороты:
$1140^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 60^\circ = 1080^\circ + 60^\circ$

Шаг 2. Синус периодичен:

$$\sin 1140^\circ = \sin 60^\circ$$

Шаг 3. Знаем:

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

3) $\operatorname{tg} 405^\circ$

Шаг 1. $405^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 45^\circ = 360^\circ + 45^\circ$

Шаг 2. Тангенс имеет период $180^\circ$:

$$\tg 405^\circ = \tg 45^\circ$$

Шаг 3. Табличное значение:

$$\tg 45^\circ = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

4) $\cos 840^\circ$

Шаг 1.
$840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 720^\circ + 120^\circ$

Шаг 2.

$$\cos 840^\circ = \cos 120^\circ$$

Шаг 3.
$120^\circ = 180^\circ — 60^\circ \Rightarrow \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$

Шаг 4.

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

5) $\sin \frac{47\pi}{6}$

Шаг 1. Представим как неправильную дробь:

$$\frac{47\pi}{6} = 7 \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 2. Выделим полный период $2\pi = \frac{12\pi}{6}$:

$$\frac{47\pi}{6} = 8\pi — \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin \left(8\pi — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3. Синус — нечётная функция, период $2\pi$:

$$\sin (8\pi — \frac{\pi}{6}) = \sin (-\frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4.

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

6) $\operatorname{tg} \frac{25\pi}{4}$

Шаг 1.

$$\frac{25\pi}{4} = 6 \frac{\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Период тангенса — $\pi$:

$$\tg (6\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg \frac{\pi}{4}$$

Шаг 3.

$$\tg \frac{\pi}{4} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

7) $\operatorname{ctg} \frac{27\pi}{4}$

Шаг 1.

$$\frac{27\pi}{4} = 6 \frac{3\pi}{4} = 7\pi — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2.

$$\operatorname{ctg}(7\pi — \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) \quad \text{(так как } \operatorname{ctg}(\pi n — x) = -\operatorname{ctg}(x))$$

Шаг 3.

$$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

8) $\cos \frac{21\pi}{4}$

Шаг 1.

$$\frac{21\pi}{4} = 5 \frac{\pi}{4} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2.

$$\cos(4\pi + \pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4})$$

Шаг 3.

$$\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) \Rightarrow \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4.

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$