ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 527 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (527—528).

1. $$\frac{\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-a)-\mathrm{tg}(\pi +a)+\sin (\frac{3\pi }{2}-a)}{\cos (\pi +a)}$$
2. $$\frac{\sin (\pi -a)+\cos (\frac{\pi }{2}+a)+\mathrm{ctg}(\pi -a)}{\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-a)}$$

1.

$$\frac{\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) — \operatorname{tg} (\pi + a) + \sin \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)}{\cos (\pi + a)} = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} a — \cos a}{-\cos a} =$$ $$= \frac{-\cos a}{-\cos a} = 1;$$

2.

$$\frac{\sin (\pi — a) + \cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right) + \operatorname{ctg} (\pi — a)}{\operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)} = \frac{\sin a — \sin a + \operatorname{ctg} (-a)}{\operatorname{tg} \left( \pi + \frac{\pi}{2} — a \right)} =$$ $$= \frac{-\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right)} = \frac{-\operatorname{ctg} a}{\operatorname{ctg} a} = -1;$$

1)

$$\frac{\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) — \operatorname{tg} (\pi + a) + \sin \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)}{\cos (\pi + a)}$$

Шаг 1. Раскроем каждую функцию, используя формулы приведения:

• $\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$

Формула:

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \operatorname{tg} a$$

• $\operatorname{tg} (\pi + a)$

Формула:

$$\operatorname{tg} (\pi + a) = \operatorname{tg} a$$

• $\sin \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)$

Формула:

$$\sin \left( \frac{3\pi}{2} — a \right) = -\cos a$$

• $\cos (\pi + a)$

Формула:

$$\cos (\pi + a) = -\cos a$$

Шаг 2. Подставим всё в исходное выражение:

$$\frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} a — \cos a}{-\cos a}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель:

$$\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} a = 0, \quad \text{поэтому числитель: } -\cos a$$

Знаменатель: $-\cos a$

Шаг 4. Сокращаем дробь:

$$\frac{-\cos a}{-\cos a} = 1$$

Ответ на пункт 1:

$$\boxed{1}$$

2)

$$\frac{\sin (\pi — a) + \cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right) + \operatorname{ctg} (\pi — a)}{\operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)}$$

Шаг 1. Раскроем каждую функцию:

• $\sin (\pi — a)$

Формула:

$$\sin (\pi — a) = \sin a$$

• $\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right)$

Формула:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right) = -\sin a$$

• $\operatorname{ctg} (\pi — a)$

Формула:

$$\operatorname{ctg} (\pi — a) = -\operatorname{ctg} a$$

• $\operatorname{tg} \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)$

Представим:

$$\frac{3\pi}{2} — a = \pi + \frac{\pi}{2} — a \Rightarrow \operatorname{tg} \left( \pi + \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Формула:

$$\operatorname{tg} (\pi + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha \Rightarrow \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \operatorname{ctg} a$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\frac{\sin a — \sin a — \operatorname{ctg} a}{\operatorname{ctg} a}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $\sin a — \sin a = 0$, остаётся: $-\operatorname{ctg} a$

Знаменатель: $\operatorname{ctg} a$

Шаг 4. Сократим:

$$\frac{-\operatorname{ctg} a}{\operatorname{ctg} a} = -1$$

Ответ на пункт 2:

$$\boxed{-1}$$