ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 523 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. 1-cosx=2sin x/2;
2. 1+cosx =2cosx/2;
3. 1+cosx/2 = 2sin(x/4 — 3 пи/2);
4. 1+cos8x= 2cos4x;
5. 2sin2x/2 + 1/2sin2x=1;
6. 2cos2x-1/2sin4x=1.

$1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$;
$2 \sin^2 \frac{x}{2} — 2 \sin \frac{x}{2} = 0$;
$2 \sin \frac{x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \sin \frac{x}{2} = 0$;
$\sin \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = 2 \pi n$;

Второе уравнение:
$\sin \frac{x}{2} — 1 = 0$;
$\sin \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \arcsin 1 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;
$x = \pi + 4 \pi n$;

Ответ: $2 \pi n$; $\pi + 4 \pi n$.

$1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2}$;
$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 2 \cos \frac{x}{2} = 0$;
$2 \cos \frac{x}{2} \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \cos \frac{x}{2} = 0$;
$\cos \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \pi + 2 \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos \frac{x}{2} — 1 = 0$;
$\cos \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \pm \arccos 1 + 2 \pi n = 2 \pi n$;
$x = 4 \pi n$;

Ответ: $\pi + 2 \pi n$; $4 \pi n$.

$1 + \cos \frac{x}{2} = 2 \sin \left( \frac{x}{4} — \frac{3\pi}{2} \right)$;
$1 + \cos \frac{x}{2} = -2 \sin \left( \frac{3\pi}{2} — \frac{x}{4} \right)$;
$1 + \cos \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{4}$;
$2 \cos^2 \frac{x}{4} — 2 \cos \frac{x}{4} = 0$;
$2 \cos \frac{x}{4} \left( \cos \frac{x}{4} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \cos \frac{x}{4} = 0$;
$\cos \frac{x}{4} = 0$;
$\frac{x}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = 4 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = 2 \pi + 4 \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos \frac{x}{4} — 1 = 0$;
$\cos \frac{x}{4} = 1$;
$\frac{x}{4} = \pm \arccos 1 + 2 \pi n = 2 \pi n$;
$x = 8 \pi n$;

Ответ: $2 \pi + 4 \pi n$; $8 \pi n$.

$1 + \cos 8x = 2 \cos 4x$;
$2 \cos^2 4x — 2 \cos 4x = 0$;
$2 \cos 4x \left( \cos 4x — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$2 \cos 4x = 0$;
$\cos 4x = 0$;
$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$\cos 4x — 1 = 0$;
$\cos 4x = 1$;
$4x = \pm \arccos 1 + 2 \pi n = 2 \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$; $\frac{\pi n}{2}$.

$2 \sin^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin 2x = 1$;
$(1 — \cos x) + \frac{1}{2} (2 \sin x \cdot \cos x) — 1 = 0$;
$-\cos x + \sin x \cdot \cos x = 0$;
$\cos x (\sin x — 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x = 0$;
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\sin x — 1 = 0$;
$\sin x = 1$;
$x = \arcsin 1 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$2 \cos^2 x — \frac{1}{2} \sin 4x = 1$;
$(1 + \cos 2x) — \frac{1}{2} (2 \sin 2x \cdot \cos 2x) — 1 = 0$;
$\cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x = 0$;
$\cos 2x (1 — \sin 2x) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$1 — \sin 2x = 0$;
$\sin 2x = 1$;
$2x = \arcsin 1 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

1) Уравнение:

$$1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Формула понижения степени

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} — 2 \sin \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

$$2 \sin \frac{x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Шаг 4: Решим каждое из двух уравнений

Первое уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2\pi n,\quad x = \pi + 4\pi n}$$

2) Уравнение:

$$1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Используем формулу:

$$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 2 \cos \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

$$2 \cos \frac{x}{2} \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Шаг 4: Решаем каждое уравнение

Первое уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n,\quad x = 4\pi n}$$

3) Уравнение:

$$1 + \cos \frac{x}{2} = 2 \sin\left( \frac{x}{4} — \frac{3\pi}{2} \right)$$

Шаг 1: Используем преобразование аргумента

$$\sin\left( \frac{x}{4} — \frac{3\pi}{2} \right) = -\sin\left( \frac{3\pi}{2} — \frac{x}{4} \right) = \cos \frac{x}{4} \Rightarrow 1 + \cos \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{4}$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

$$1 + \cos \frac{x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{4} \quad \Rightarrow \quad 2 \cos^2 \frac{x}{4} = 2 \cos \frac{x}{4}$$

Шаг 3: Переносим всё в одну часть

$$2 \cos^2 \frac{x}{4} — 2 \cos \frac{x}{4} = 0 \Rightarrow 2 \cos \frac{x}{4} \left( \cos \frac{x}{4} — 1 \right) = 0$$

Шаг 4: Решим каждое уравнение

Первое:

$$\cos \frac{x}{4} = 0 \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi n$$

Второе:

$$\cos \frac{x}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x}{4} = 2\pi n \Rightarrow x = 8\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2\pi + 4\pi n,\quad x = 8\pi n}$$

4) Уравнение:

$$1 + \cos 8x = 2 \cos 4x$$

Шаг 1: Левую часть раскроем по формуле:

$$1 + \cos 8x = 2 \cos^2 4x \Rightarrow 2 \cos^2 4x = 2 \cos 4x$$

Шаг 2: Переносим всё влево

$$2 \cos^2 4x — 2 \cos 4x = 0 \Rightarrow 2 \cos 4x (\cos 4x — 1) = 0$$

Шаг 3: Решаем каждое уравнение

Первое:

$$\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Второе:

$$\cos 4x = 1 \Rightarrow 4x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4},\quad x = \frac{\pi n}{2}}$$

5) Уравнение:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin 2x = 1$$

Шаг 1: Заменим по формулам:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 — \cos x,\quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставляем:

$$(1 — \cos x) + \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = 1 \Rightarrow (1 — \cos x + \sin x \cos x) = 1$$

Шаг 2: Переносим 1 вправо

$$— \cos x + \sin x \cos x = 0 \Rightarrow \cos x (\sin x — 1) = 0$$

Шаг 3: Решим каждое уравнение

Первое:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Второе:

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Общий ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$

6) Уравнение:

$$2 \cos^2 x — \frac{1}{2} \sin 4x = 1$$

Шаг 1: Используем формулы:

$$2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x,\quad \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставим:

$$(1 + \cos 2x) — \frac{1}{2}(2 \sin 2x \cos 2x) = 1 \Rightarrow \cos 2x — \sin 2x \cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 2x (1 — \sin 2x) = 0$$

Шаг 2: Решим каждое уравнение

Первое:

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе:

$$\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$