ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 522 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение tg2a/(tg 4а — tg 2а).

Упростить выражение:

$$\frac{\mathrm{tg}2a}{\mathrm{tg}4a-\mathrm{tg}2a}=\frac{\mathrm{tg}2a}{\frac{2\mathrm{tg}2a}{1-{\mathrm{tg}}^{2}2a}-\mathrm{tg}2a}=\frac{\mathrm{tg}2a\cdot (1-{\mathrm{tg}}^{2}2a)}{2\mathrm{tg}2a-\mathrm{tg}2a\cdot (1-{\mathrm{tg}}^{2}2a)}=$$

$$\frac{\operatorname{tg} 2a}{\operatorname{tg} 4a — \operatorname{tg} 2a} = \frac{\operatorname{tg} 2a}{\frac{2 \operatorname{tg} 2a}{1 — \operatorname{tg}^2 2a} — \operatorname{tg} 2a} = \frac{\operatorname{tg} 2a \cdot (1 — \operatorname{tg}^2 2a)}{2 \operatorname{tg} 2a — \operatorname{tg} 2a \cdot (1 — \operatorname{tg}^2 2a)} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}2a-{\mathrm{tg}}^{3}2a}{2\mathrm{tg}2a-\mathrm{tg}2a+{\mathrm{tg}}^{3}2a}=\frac{\mathrm{tg}2a-{\mathrm{tg}}^{3}2a}{\mathrm{tg}2a+{\mathrm{tg}}^{3}2a}=\frac{1-{\mathrm{tg}}^{2}2a}{1+{\mathrm{tg}}^{2}2a}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg} 2a — \operatorname{tg}^3 2a}{2 \operatorname{tg} 2a — \operatorname{tg} 2a + \operatorname{tg}^3 2a} = \frac{\operatorname{tg} 2a — \operatorname{tg}^3 2a}{\operatorname{tg} 2a + \operatorname{tg}^3 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 2a}{1 + \operatorname{tg}^2 2a} =$$ $$= \frac{\cos^2 2a — \sin^2 2a}{\cos^2 2a + \sin^2 2a} = \frac{\cos^2 2a — \sin^2 2a}{1} = \cos 4a;$$

Ответ: $\cos 4a$.

Задано:

Упростить выражение:

$$\frac{\tan 2a}{\tan 4a — \tan 2a}$$

Шаг 1: Вспомним формулу тангенса двойного угла

Формула для $\tan 2x$:

$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x}$$

Применим её к $\tan 4a$, считая $4a = 2 \cdot 2a$:

$$\tan 4a = \frac{2 \tan 2a}{1 — \tan^2 2a}$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение

Подставляем это в числитель и знаменатель:

$$\frac{\tan 2a}{\tan 4a — \tan 2a} = \frac{\tan 2a}{\frac{2 \tan 2a}{1 — \tan^2 2a} — \tan 2a}$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю

В знаменателе:

$$\frac{2 \tan 2a}{1 — \tan^2 2a} — \tan 2a = \frac{2 \tan 2a — \tan 2a (1 — \tan^2 2a)}{1 — \tan^2 2a}$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$= \frac{2 \tan 2a — \left( \tan 2a — \tan^3 2a \right)}{1 — \tan^2 2a} = \frac{2 \tan 2a — \tan 2a + \tan^3 2a}{1 — \tan^2 2a}$$

Считаем:

$$= \frac{\tan 2a + \tan^3 2a}{1 — \tan^2 2a}$$

Шаг 4: Вставляем в основную дробь

Теперь всё выражение:

$$\frac{\tan 2a}{\frac{\tan 2a + \tan^3 2a}{1 — \tan^2 2a}} = \tan 2a \cdot \frac{1 — \tan^2 2a}{\tan 2a + \tan^3 2a}$$

Шаг 5: Упростим произведение

В числителе:

$$\tan 2a \cdot (1 — \tan^2 2a) = \tan 2a — \tan^3 2a$$

В знаменателе:

$$\tan 2a + \tan^3 2a$$

Итак:

$$\frac{\tan 2a — \tan^3 2a}{\tan 2a + \tan^3 2a}$$

Шаг 6: Вынесем $\tan 2a$ за скобки

В числителе:

$$\tan 2a (1 — \tan^2 2a)$$

В знаменателе:

$$\tan 2a (1 + \tan^2 2a)$$

Сокращаем $\tan 2a$ (если $\tan 2a \ne 0$):

$$\frac{1 — \tan^2 2a}{1 + \tan^2 2a}$$

Шаг 7: Используем связь тангенса с синусом и косинусом

Подставим:

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Подставим в выражение:

$$\frac{1 — \tan^2 2a}{1 + \tan^2 2a} = \frac{1 — \frac{\sin^2 2a}{\cos^2 2a}}{1 + \frac{\sin^2 2a}{\cos^2 2a}} = \frac{\frac{\cos^2 2a — \sin^2 2a}{\cos^2 2a}}{\frac{\cos^2 2a + \sin^2 2a}{\cos^2 2a}} =$$

Сокращаем одинаковые знаменатели:

$$= \frac{\cos^2 2a — \sin^2 2a}{\cos^2 2a + \sin^2 2a}$$

Шаг 8: Применим основное тригонометрическое тождество

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 2a + \sin^2 2a = 1$$

Значит:

$$= \cos^2 2a — \sin^2 2a$$

А это — по формуле двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos 4a = \cos^2 2a — \sin^2 2a$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 4a}$$