ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 521 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если 0 < a < пи/2 , то корень (1+sina) — корень (1-sina) = 2sina/2.

Если $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то $\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} = 2 \sin \frac{a}{2}$;

1. Если $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то угол $a$ принадлежит первой координатной четверти, то есть косинус и синус угла $a$ положительные числа;
2. Так как $a \leq 90^\circ$, то $\frac{a}{2} \leq 45^\circ$, следовательно $\cos \frac{a}{2} > \sin \frac{a}{2}$;
3. Преобразуем левую часть равенства:

$$\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} =$$ $$= \sqrt{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}} — \sqrt{\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} — 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}} =$$ $$= \sqrt{\left( \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right)^2} — \sqrt{\left( \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} \right)^2} = \left| \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right| — \left| \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} \right| =$$ $$= \left( \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right) — \left( \cos \frac{a}{2} — \sin \frac{a}{2} \right) = \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} = 2 \sin \frac{a}{2};$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

Доказать:

Если $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то верно равенство:

$$\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} = 2 \sin \frac{a}{2}$$

Шаг 1: Анализ условий

Дано: $0 < a < \frac{\pi}{2}$ (то есть $a$ — острый угол).

Следствия:

Угол $a$ находится в первой координатной четверти, поэтому:

$$\sin a > 0,\quad \cos a > 0$$

Так как $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то делим обе части на 2:

$$0 < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{4}$$

=> угол $\frac{a}{2}$ тоже острый (меньше 45°), и тогда:

$$\cos \frac{a}{2} > \sin \frac{a}{2}$$

Шаг 2: Выражение через тригонометрические формулы

Воспользуемся формулами понижения степени (удвоенного угла):

$$1+\sin a=1+2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}\text{(формула двойного угла: }\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}\text{)}$$

$$1 + \sin a = 1 + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} \quad \text{(формула двойного угла: } \sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} \text{)}$$ $$1 — \sin a = 1 — 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Теперь выразим левую часть исходного равенства:

$$\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} = \sqrt{1 + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}} — \sqrt{1 — 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

Поскольку:

$$\sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} = 1,$$

можно записать:

$$1 + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$ $$= (\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2})^2$$

Аналогично:

$$1 — 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = (\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2})^2$$

Шаг 4: Подставим выражения в исходную разность

$$\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} = \sqrt{(\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2})^2} — \sqrt{(\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2})^2}$$

Шаг 5: Извлечение квадратных корней

Напомним, что:

$$\sqrt{x^2} = |x|$$

Значит:

$$= \left| \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right| — \left| \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} \right|$$

Шаг 6: Снятие модулей

Так как $0 < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{4}$, то:

• $\sin \frac{a}{2} > 0$
• $\cos \frac{a}{2} > 0$
• И главное: $\cos \frac{a}{2} > \sin \frac{a}{2}$

Отсюда:

• $\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} > 0 \Rightarrow | \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} | = \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}$
• $\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} < 0 \Rightarrow | \sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} | = — (\sin \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2}) = \cos \frac{a}{2} — \sin \frac{a}{2}$

Теперь:

$$= (\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}) — (\cos \frac{a}{2} — \sin \frac{a}{2})$$

Шаг 7: Раскрываем скобки и упрощаем

$$= \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} — \cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2}$$

Слагаемые $+\cos \frac{a}{2}$ и $-\cos \frac{a}{2}$ сокращаются:

$$= \sin \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{2} = 2 \sin \frac{a}{2}$$

Шаг 8: Вывод

Таким образом:

$$\sqrt{1 + \sin a} — \sqrt{1 — \sin a} = 2 \sin \frac{a}{2}$$

Тождество доказано.