ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 517 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. sin 15°;
2. cos 15°;
3. tg 22°30′;
4. ctg 22°30′

1) sin 15°;

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 — \sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2 — \sqrt{3}}{4};$$ $$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2} \sqrt{2 — \sqrt{3}}$.

2) cos 15°;

$$\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4};$$ $$\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

3) tg 22° 30′;

$$\tg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 — \cos(2 \cdot 22^\circ 30′)}{1 + \cos(2 \cdot 22^\circ 30′)} = \frac{1 — \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1};$$ $$\tg^2 22^\circ 30′ = \frac{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} — 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)} = \frac{(\sqrt{2} — 1)^2}{2 — 1} = (\sqrt{2} — 1)^2;$$ $$\tg 22^\circ 30′ = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2} = \sqrt{2} — 1;$$

Ответ: $\sqrt{2} — 1$.

4) ctg 22° 30′;

$$\ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 22^\circ 30′)}{1 — \cos(2 \cdot 22^\circ 30′)} = \frac{1 + \cos 45^\circ}{1 — \cos 45^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1};$$ $$\ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 — 1} = (\sqrt{2} + 1)^2;$$ $$\ctg 22^\circ 30′ = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1;$$

Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

1) Найти $\sin 15^\circ$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для синуса

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставляем $x = 15^\circ$:

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2}$$

Шаг 2: Вычисляем $\cos 30^\circ$

Известно из таблицы значений:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Подставляем в выражение

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

$$1 = \frac{2}{2}, \quad \Rightarrow \quad \sin^2 15^\circ = \frac{\frac{2}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 — \sqrt{3}}{2}}{2}$$

Шаг 5: Делим дробь на 2

Деление на 2 эквивалентно умножению на $\frac{1}{2}$:

$$\sin^2 15^\circ = \frac{2 — \sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4}$$

Шаг 6: Извлекаем корень

$$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2}$$

Итог:

$$\boxed{ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 — \sqrt{3}} }$$

2) Найти $\cos 15^\circ$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для косинуса

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставляем $x = 15^\circ$:

$$\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2}$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю:

$$\cos^2 15^\circ = \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}$$

Шаг 4: Делим на 2

$$\cos^2 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$$

Итог:

$$\boxed{ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{3}} }$$

3) Найти $\tg 22^\circ 30′$

Шаг 1: Используем формулу для тангенса половинного угла

$$\tg^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{1 + \cos 2x}$$

Подставляем $x = 22^\circ 30′$, то есть $2x = 45^\circ$:

$$\tg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 — \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ}$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$\tg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}$$

Шаг 3: Приводим к дробям с общим знаменателем:

$$1 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \quad \Rightarrow \quad \tg^2 22^\circ 30′ = \frac{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}$$

Шаг 4: Делим дроби, сокращая $\sqrt{2}$:

$$\tg^2 22^\circ 30′ = \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}$$

Шаг 5: Рационализируем знаменатель:

$$\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{(\sqrt{2} — 1)^2}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)} = \frac{(\sqrt{2} — 1)^2}{2 — 1} = (\sqrt{2} — 1)^2$$

Шаг 6: Извлекаем корень:

$$\tg 22^\circ 30′ = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2} = \sqrt{2} — 1$$

Итог:

$$\boxed{ \tg 22^\circ 30′ = \sqrt{2} — 1 }$$

4) Найти $\ctg 22^\circ 30′$

Шаг 1: Используем формулу для котангенса половинного угла

$$\ctg^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{1 — \cos 2x}$$

Подставляем $x = 22^\circ 30′$, значит $2x = 45^\circ$:

$$\ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{1 — \cos 45^\circ}$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$\ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}}$$

Шаг 3: Приводим к дробям с общим знаменателем:

$$1 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \quad \Rightarrow \quad \ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}}$$

Шаг 4: Делим дроби, сокращая $\sqrt{2}$:

$$\ctg^2 22^\circ 30′ = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}$$

Шаг 5: Рационализируем знаменатель:

$$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{2-1}=(\sqrt{2}+1{)}^2$$

Шаг 6: Извлекаем корень:

$$\ctg 22^\circ 30′ = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$$

Итог:

$$\boxed{ \ctg 22^\circ 30′ = \sqrt{2} + 1 }$$