ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 515 Алимов — Подробные Ответы

Пусть cos а = 0,6 и 0 < а < пи/2. Вычислить:

1. sina/2;
2. cosa/2;
3. tga/2;
4. ctga/2.

Известно, что $\cos a = 0,6$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то есть угол $a$ принадлежит первой координатной четверти (синус $a$ положительное число).

1) $\sin \frac{a}{2}$:

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{2} = \frac{1 — 0,6}{2} = \frac{0,4}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$$ $$\sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

2) $\cos \frac{a}{2}$:

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2} = \frac{1 + 0,6}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8 = \frac{4}{5};$$ $$\cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5};$$

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a} = \frac{1 — 0,6}{1 + 0,6} = \frac{0,4}{1,6} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4};$$ $$\operatorname{tg} \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) $\operatorname{ctg} \frac{a}{2}$:

$$\operatorname{ctg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a} = \frac{1 + 0,6}{1 — 0,6} = \frac{1,6}{0,4} = \frac{16}{4} = 4;$$ $$\operatorname{ctg} \frac{a}{2} = \sqrt{4} = 2;$$

Ответ: $2$.

Дано:

$$\cos a = 0{,}6, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}$$

Угол $a$ находится в первой координатной четверти, где и косинус, и синус положительны. Это важно, чтобы правильно выбрать знак при извлечении корней.

1) Найти $\sin \frac{a}{2}$

Шаг 1: Используем формулу половинного угла для синуса

Формула:

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{2}$$

Эта формула получается из тригонометрических тождеств, связанных с двойным углом.

Шаг 2: Подставляем известное значение

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — 0{,}6}{2} = \frac{0{,}4}{2}$$

Шаг 3: Вычисляем дробь

$$\frac{0{,}4}{2} = 0{,}2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

Шаг 4: Извлекаем квадратный корень

$$\sin \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Шаг 5: Определяем знак корня

Угол $\frac{a}{2}$ — половина острого угла, значит он тоже острый и находится в первой четверти. В первой четверти синус положителен, значит:

$$\sin \frac{a}{2} = + \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Итог по первому пункту:

$$\boxed{ \sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} }$$

2) Найти $\cos \frac{a}{2}$

Шаг 1: Используем формулу половинного угла для косинуса

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2}$$

Шаг 2: Подставляем значение $\cos a$

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + 0{,}6}{2} = \frac{1{,}6}{2}$$

Шаг 3: Вычисляем дробь

$$\frac{1{,}6}{2} = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

Шаг 4: Извлекаем корень

$$\cos \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Шаг 5: Определяем знак

Угол $\frac{a}{2}$ в первой четверти, значит косинус положителен:

$$\cos \frac{a}{2} = + \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Итог по второму пункту:

$$\boxed{ \cos \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} }$$

3) Найти $\operatorname{tg} \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула для тангенса половинного угла через косинус

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

Шаг 2: Подставляем значения

$$\operatorname{tg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — 0{,}6}{1 + 0{,}6} = \frac{0{,}4}{1{,}6}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь

$$\frac{0{,}4}{1{,}6} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Извлекаем корень

$$\operatorname{tg} \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Определяем знак

Угол $\frac{a}{2}$ в первой четверти, тангенс положителен, значит:

$$\operatorname{tg} \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$$

Итог по третьему пункту:

$$\boxed{ \operatorname{tg} \frac{a}{2} = \frac{1}{2} }$$

4) Найти $\operatorname{ctg} \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула для котангенса половинного угла

$$\operatorname{ctg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a}$$

Шаг 2: Подставляем значения

$$\operatorname{ctg}^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + 0{,}6}{1 — 0{,}6} = \frac{1{,}6}{0{,}4}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь

$$\frac{1{,}6}{0{,}4} = \frac{16}{4} = 4$$

Шаг 4: Извлекаем корень

$$\operatorname{ctg} \frac{a}{2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$

Шаг 5: Определяем знак

Угол $\frac{a}{2}$ в первой четверти, значит котангенс положителен:

$$\operatorname{ctg} \frac{a}{2} = 2$$

Итог по четвертому пункту:

$$\boxed{ \operatorname{ctg} \frac{a}{2} = 2 }$$