ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 510 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. $$\frac{\cos 2a}{\sin a\cdot \cos a+{\sin }^{2}a}=\mathrm{ctg}a-1$$
2. $$\frac{\sin 2a-2\cos a}{\sin a-{\sin }^{2}a}=-2\mathrm{ctg}a$$
3. $$\tan a(1+\cos 2a)=\sin 2a$$
4. $$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}\cdot \tan a=1$$
5. $$\frac{(1-2{\cos }^{2}a)(2{\sin }^{2}a-1)}{4{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a}={\mathrm{ctg}}^{2}2a$$
6. $$1-2{\sin }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{a}{2})=\sin a$$
7. $$\frac{\sin a+\sin 2a}{1+\cos a+\cos 2a}=\tan a$$

1.

$$\frac{\cos 2a}{\sin a \cdot \cos a + \sin^2 a} = \operatorname{ctg} a — 1;$$ $$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a (\cos a + \sin a)} = \operatorname{ctg} a — 1;$$ $$\frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{\sin a (\cos a + \sin a)} = \operatorname{ctg} a — 1;$$ $$\frac{\cos a — \sin a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a — 1;$$ $$\frac{\cos a}{\sin a} — 1 = \operatorname{ctg} a — 1;$$ $$\operatorname{ctg} a — 1 = \operatorname{ctg} a — 1;$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{\sin 2a — 2 \cos a}{\sin a — \sin^2 a} = -2 \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{2 \sin a \cdot \cos a — 2 \cos a}{\sin a (1 — \sin a)} = -2 \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{2 \cos a (\sin a — 1)}{-\sin a (\sin a — 1)} = -2 \operatorname{ctg} a;$$ $$-2 \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = -2 \operatorname{ctg} a;$$ $$-2 \operatorname{ctg} a = -2 \operatorname{ctg} a;$$

Тождество доказано.

3.

$$\tan a (1 + \cos 2a) = \sin 2a;$$ $$\tan a \left( (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 a — \sin^2 a) \right) = \sin 2a;$$ $$\tan a \cdot 2 \cos^2 a = \sin 2a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a} \cdot 2 \cos^2 a = \sin 2a;$$ $$2 \sin a \cdot \cos a = \sin 2a;$$ $$\sin 2a = \sin 2a;$$

Тождество доказано.

4.

$$\frac{1 — \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1;$$ $$\frac{(\cos^2 a + \sin^2 a) — (\cos^2 a — \sin^2 a) + (2 \sin a \cdot \cos a)}{(\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 a — \sin^2 a) + (2 \sin a \cdot \cos a)} \cdot \operatorname{ctg} a = 1;$$ $$\frac{2 \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a}{2 \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1;$$ $$\frac{2 \sin a \cdot (\sin a + \cos a)}{2 \cos a \cdot (\cos a + \sin a)} \cdot \operatorname{ctg} a = 1;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

5.

$$\frac{(1 — 2 \cos^2 a)(2 \sin^2 a — 1)}{4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a} = \operatorname{ctg}^2 2a;$$ $$\frac{((\cos^2 a + \sin^2 a) — 2 \cos^2 a)(2 \sin^2 a — (\cos^2 a + \sin^2 a))}{(2 \sin a \cdot \cos a)^2} = \operatorname{ctg}^2 2a;$$ $$\frac{(-\cos^2 a + \sin^2 a)(-\cos^2 a — \sin^2 a)}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a;$$ $$\frac{(-\cos 2a)(-\cos 2a)}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a;$$ $$\frac{\cos^2 2a}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a;$$ $$\operatorname{ctg}^2 2a = \operatorname{ctg}^2 2a;$$

Тождество доказано.

6.

$$1 — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \sin a;$$ $$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \sin a;$$ $$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \sin a;$$ $$\cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) \right) = \sin a;$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a;$$ $$\sin a = \sin a;$$

Тождество доказано.

7.

$$\frac{\sin a + \sin 2a}{1 + \cos a + \cos 2a} = \tan a;$$ $$\frac{\sin a + 2 \sin a \cdot \cos a}{(\cos^2 a + \sin^2 a) + \cos a + (\cos^2 a — \sin^2 a)} = \tan a;$$ $$\frac{\sin a (1 + 2 \cos a)}{\cos a + 2 \cos^2 a} = \tan a;$$ $$\frac{\sin a (1 + 2 \cos a)}{\cos a (1 + 2 \cos a)} = \tan a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;$$ $$\tan a = \tan a;$$

Тождество доказано.

1)

Доказать, что

$$\frac{\cos 2a}{\sin a \cdot \cos a + \sin^2 a} = \operatorname{ctg} a — 1$$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса двойного угла:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставим в числитель:

$$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\sin a \cos a + \sin^2 a}$$

Шаг 2: Заметим, что в знаменателе можно вынести общий множитель $\sin a$:

$$\sin a \cos a + \sin^2 a = \sin a (\cos a + \sin a)$$

Шаг 3: Числитель раскладываем как разность квадратов:

$$\cos^2 a — \sin^2 a = (\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)$$

Шаг 4: Подставляем всё вместе:

$$\frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{\sin a (\cos a + \sin a)}$$

Шаг 5: Сокращаем на общий множитель $\cos a + \sin a$ (при условии, что он не равен нулю):

$$\frac{\cos a — \sin a}{\sin a}$$

Шаг 6: Разделим дробь по частям:

$$\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a — 1$$

Вывод:

$$\frac{\cos 2a}{\sin a \cdot \cos a + \sin^2 a} = \operatorname{ctg} a — 1$$

Тождество доказано.

2)

Доказать, что

$$\frac{\sin 2a — 2 \cos a}{\sin a — \sin^2 a} = -2 \operatorname{ctg} a$$

Шаг 1: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Подставим в числитель:

$$2 \sin a \cos a — 2 \cos a = 2 \cos a (\sin a — 1)$$

Шаг 2: В знаменателе вынесем общий множитель $\sin a$:

$$\sin a — \sin^2 a = \sin a (1 — \sin a)$$

Шаг 3: Подставим числитель и знаменатель:

$$\frac{2 \cos a (\sin a — 1)}{\sin a (1 — \sin a)}$$

Шаг 4: Заметим, что $\sin a — 1 = -(1 — \sin a)$, тогда:

$$\frac{2 \cos a \cdot (-(1 — \sin a))}{\sin a (1 — \sin a)} = \frac{-2 \cos a (1 — \sin a)}{\sin a (1 — \sin a)}$$

Шаг 5: Сокращаем $(1 — \sin a)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-2 \cos a}{\sin a} = -2 \operatorname{ctg} a$$

Вывод:

$$\frac{\sin 2a — 2 \cos a}{\sin a — \sin^2 a} = -2 \operatorname{ctg} a$$

Тождество доказано.

3)

Доказать, что

$$\tan a (1 + \cos 2a) = \sin 2a$$

Шаг 1: Используем формулы:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

и

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$1 + \cos 2a = (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 a — \sin^2 a) = 2 \cos^2 a$$

Шаг 3: Подставим в левую часть:

$$\tan a \cdot 2 \cos^2 a = 2 \cos^2 a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = 2 \sin a \cos a$$

Шаг 4: По формуле синуса двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Вывод:

$$\tan a (1 + \cos 2a) = \sin 2a$$

Тождество доказано.

4)

Доказать, что

$$\frac{1 — \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1$$

Шаг 1: Используем известные формулы:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a, \quad \sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Шаг 2: В числителе раскрываем скобки:

$$1-\cos 2a+\sin 2a=({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a=$$

$$1 — \cos 2a + \sin 2a = (\cos^2 a + \sin^2 a) — (\cos^2 a — \sin^2 a) + 2 \sin a \cos a = 2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a$$

Шаг 3: В знаменателе:

$$1+\cos 2a+\sin 2a=({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a=$$

$$1 + \cos 2a + \sin 2a = (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 a — \sin^2 a) + 2 \sin a \cos a = 2 \cos^2 a + 2 \sin a \cos a$$

Шаг 4: Подставим числитель и знаменатель:

$$\frac{2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a + 2 \sin a \cos a} \cdot \operatorname{ctg} a = \frac{2 \sin a (\sin a + \cos a)}{2 \cos a (\cos a + \sin a)} \cdot \operatorname{ctg} a$$

Шаг 5: Сократим на 2 и на $\sin a + \cos a$:

$$\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \operatorname{ctg} a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1$$

Вывод:

$$\frac{1 — \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1$$

Тождество доказано.

5)

Доказать, что

$$\frac{(1 — 2 \cos^2 a)(2 \sin^2 a — 1)}{4 \sin^2 a \cos^2 a} = \operatorname{ctg}^2 2a$$

Шаг 1: В числителе выражаем через суммы и разности:

$$1 = \cos^2 a + \sin^2 a$$

Поэтому:

$$1 — 2 \cos^2 a = (\cos^2 a + \sin^2 a) — 2 \cos^2 a = -\cos^2 a + \sin^2 a$$

А:

$$2 \sin^2 a — 1 = 2 \sin^2 a — (\cos^2 a + \sin^2 a) = \sin^2 a — \cos^2 a$$

Шаг 2: Подставим:

$$\frac{(-\cos^2 a + \sin^2 a)(\sin^2 a — \cos^2 a)}{4 \sin^2 a \cos^2 a}$$

Шаг 3: Заметим, что $-\cos^2 a + \sin^2 a = -(\cos^2 a — \sin^2 a) = -\cos 2a$,
и $\sin^2 a — \cos^2 a = -\cos 2a$.

Поэтому числитель:

$$(-\cos 2a)(-\cos 2a) = \cos^2 2a$$

Шаг 4: Знаменатель:

$$4 \sin^2 a \cos^2 a = (2 \sin a \cos a)^2 = \sin^2 2a$$

Шаг 5: Итого:

$$\frac{\cos^2 2a}{\sin^2 2a} = \operatorname{ctg}^2 2a$$

Вывод:

$$\frac{(1 — 2 \cos^2 a)(2 \sin^2 a — 1)}{4 \sin^2 a \cos^2 a} = \operatorname{ctg}^2 2a$$

Тождество доказано.

6)

Доказать, что

$$1 — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \sin a$$

Шаг 1: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$1 — 2 \sin^2 x = \cos 2x$$

Сравним:

$$1 — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) \right)$$

Шаг 2: Упростим аргумент косинуса:

$$2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{2} — a$$

Шаг 3: Значит, левая часть равна:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 4: По тригонометрической формуле:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$$

Шаг 5: Тогда:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a$$

Вывод:

$$1 — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \sin a$$

Тождество доказано.

7)

Доказать, что

$$\frac{\sin a + \sin 2a}{1 + \cos a + \cos 2a} = \tan a$$

Шаг 1: Используем формулу для синуса двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Подставляем в числитель:

$$\sin a + 2 \sin a \cos a = \sin a (1 + 2 \cos a)$$

Шаг 2: В знаменателе раскроем $\cos 2a$ через формулы:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

И используем тождество:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Значит:

$$1 + \cos a + \cos 2a = 1 + \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a$$

Шаг 3: Заметим, что

$$1 = \cos^2 a + \sin^2 a$$

Подставим:

$$(\cos^2 a + \sin^2 a) + \cos a + (\cos^2 a — \sin^2 a) = \cos a + 2 \cos^2 a$$

Шаг 4: Значит, знаменатель равен:

$$\cos a + 2 \cos^2 a = \cos a (1 + 2 \cos a)$$

Шаг 5: Подставим числитель и знаменатель в дробь:

$$\frac{\sin a (1 + 2 \cos a)}{\cos a (1 + 2 \cos a)}$$

Шаг 6: Сократим на $1 + 2 \cos a$:

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a$$

Вывод:

$$\frac{\sin a + \sin 2a}{1 + \cos a + \cos 2a} = \tan a$$

Тождество доказано.