ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 502 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 sin 75° * cos 75°;
2. cos2 75° — sin2 75°;
3. 6 tg 75°/(1-tg2 75°);
4. (tg2 22°30′-1)/ tg2 22°30′.

$\mathrm{1.\; 2}\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\sin (2\cdot {75}^{\circ })=\sin {150}^{\circ }=\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2};$

${\mathrm{2.\; cos}}^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=\cos (2\cdot {75}^{\circ })=\cos {150}^{\circ }=-\cos {30}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2};$

3. $\frac{6\mathrm{tg}{75}^{\circ }}{1-{\mathrm{tg}}^2{75}^{\circ }}=3\cdot \frac{2\mathrm{tg}{75}^{\circ }}{1-{\mathrm{tg}}^2{75}^{\circ }}=3\cdot \mathrm{tg}(2\cdot {75}^{\circ })=3\cdot \mathrm{tg}{150}^{\circ }=$

$=-3\mathrm{tg}{30}^{\circ }=-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3};$

4. $\frac{{\mathrm{tg}}^2({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})-1}{\mathrm{tg}({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}=-2\cdot \frac{1-{\mathrm{tg}}^2({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}{2\cdot \mathrm{tg}({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}=-2\cdot {\left(\frac{2\cdot \mathrm{tg}({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}{1-{\mathrm{tg}}^2({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}\right)}^{-1}=$

$=-2\cdot {(\mathrm{tg}(2\cdot {22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}))}^{-1}=-2\cdot (\mathrm{tg}{45}^{\circ }{)}^{-1}=-2\cdot 1^{-1}=-2$

1) $2\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }$

Шаг 1: Узнаем формулу.

Это формула для синуса двойного угла:

$$2\sin A\cdot \cos A=\sin (2A)$$

Шаг 2: Подставляем $A={75}^{\circ }$

$$2\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\sin (2\cdot {75}^{\circ })$$

Шаг 3: Вычисляем аргумент:

$$2\cdot {75}^{\circ }={150}^{\circ }$$$$\Rightarrow \sin (2\cdot {75}^{\circ })=\sin ({150}^{\circ })$$

Шаг 4: Преобразуем угол:

$$\sin ({150}^{\circ })=\sin ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=\sin ({30}^{\circ })$$

Шаг 5: Используем табличное значение:

$$\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$$

Ответ 1:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$

2) ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }$

Шаг 1: Используем формулу:

$${\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=\cos (2A)$$

Шаг 2: Подставим $A={75}^{\circ }$

$${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=\cos (2\cdot {75}^{\circ })$$

Шаг 3: Вычисляем аргумент:

$$2\cdot {75}^{\circ }={150}^{\circ }\Rightarrow \cos ({150}^{\circ })$$

Шаг 4: Преобразуем угол:

$$\cos ({150}^{\circ })=\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\cos ({30}^{\circ })$$

Шаг 5: Используем табличное значение:

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\Rightarrow \cos ({150}^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ 2:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}}}$$

3) $\frac{6\mathrm{tg}{75}^{\circ }}{1-{\mathrm{tg}}^2{75}^{\circ }}$

Шаг 1: Вынесем множитель:

$$\frac{6\tan {75}^{\circ }}{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}=3\cdot \frac{2\tan {75}^{\circ }}{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}$$

Шаг 2: Узнаем формулу:

$$\tan (2A)=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}$$

Шаг 3: Подставим $A={75}^{\circ }$

$$\frac{2\tan {75}^{\circ }}{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}=\tan (2\cdot {75}^{\circ })=\tan ({150}^{\circ })$$

Шаг 4: Преобразуем угол:

$$\tan ({150}^{\circ })=\tan ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\tan ({30}^{\circ })$$

Шаг 5: Используем табличное значение:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow -\tan ({30}^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 6: Подставляем обратно:

$$3\cdot \tan ({150}^{\circ })=3\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\sqrt{3}$$

Ответ 3:

$$\boxed{{\displaystyle -\sqrt{3}}}$$

4)

$$\frac{{\tan }^2({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})-1}{\tan ({22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }})}$$

Шаг 1: Заметим, что:

$${\tan }^{2}A-1=-(1-{\tan }^{2}A)$$$$\Rightarrow \frac{{\tan }^{2}A-1}{\tan A}=-\frac{1-{\tan }^{2}A}{\tan A}$$

Шаг 2: Представим знаменатель в виде двойного угла:

$$-\frac{1-{\tan }^{2}A}{\tan A}=-2\cdot \frac{1-{\tan }^{2}A}{2\tan A}$$

А теперь вспомним формулу:

$$\tan (2A)=\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}\Rightarrow {\left(\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}\right)}^{-1}=\frac{1-{\tan }^{2}A}{2\tan A}$$

Шаг 3: Подставим:

$$-2\cdot {\left(\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}\right)}^{-1}=-2\cdot (\tan (2A){)}^{-1}$$

Шаг 4: Подставим $A={22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}$

$$2A={45}^{\circ }\Rightarrow \tan (2A)=\tan ({45}^{\circ })=1$$$$\Rightarrow (\tan (2A){)}^{-1}=\frac{1}{1}=1$$$$\Rightarrow -2\cdot 1=-2$$

Ответ 4:

$$\boxed{{\displaystyle -2}}$$