ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 500 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить, не используя калькулятор (500—502).

1. 2 sin 15° * cos 15°;
2. cos2 15° — sin2 15°;
3. 2tg15°/(1-tg2 15°);
4. (cos 75° — sin 75°)2.

1. $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
2. $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $\frac{2 \operatorname{tg} 15^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 15^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 15^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
4. $(\cos {75}^{\circ }-\sin {75}^{\circ }{)}^2={\cos }^2{75}^{\circ }-2\cos {75}^{\circ }\cdot \sin {75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=$

$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ — 2 \cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ = (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) — \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 — \sin(150^\circ) = 1 — \sin 30^\circ = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

1) Вычислить

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$$

Шаг 1: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta.$$

Шаг 2: В нашем случае $\theta = 15^\circ$, значит

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin 2 \times 15^\circ = \sin 30^\circ.$$

Шаг 3: Значение $\sin 30^\circ$:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}.$$

2) Вычислить

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$$

Шаг 1: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta.$$

Шаг 2: Подставляем $\theta = 15^\circ$:

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos 2 \times 15^\circ = \cos 30^\circ.$$

Шаг 3: Значение $\cos 30^\circ$:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

3) Вычислить

$$\frac{2 \tan 15^\circ}{1 — \tan^2 15^\circ}$$

Шаг 1: Используем формулу тангенса двойного угла:

$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 — \tan^2 \theta}.$$

Шаг 2: Подставляем $\theta = 15^\circ$:

$$\frac{2 \tan 15^\circ}{1 — \tan^2 15^\circ} = \tan 2 \times 15^\circ = \tan 30^\circ.$$

Шаг 3: Значение $\tan 30^\circ$:

$$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}.$$

4) Вычислить

$$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2$$

Шаг 1: Раскрываем квадрат разности:

$$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ — 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ.$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1,$$

поэтому

$${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=1.$$

Шаг 3: Заменяем выражение:

$$1 — 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ.$$

Шаг 4: Используем формулу синуса двойного угла для $\sin 2\theta$:

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta,$$

следовательно,

$$2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ = \sin 150^\circ.$$

Шаг 5: Подставляем:

$$1 — \sin 150^\circ.$$

Шаг 6: Значение $\sin 150^\circ$:

$$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$$

Шаг 7: Итоговое значение:

$$1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}.$$