ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 493 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. $$\frac{\operatorname{tg} 29^\circ + \operatorname{tg} 31^\circ}{1 — \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 31^\circ} = \operatorname{tg}(29^\circ + 31^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3};$$
2. $$\frac{\operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} — \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}}{1 + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} \cdot \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}} = \operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{16} — \frac{3\pi}{16}\right) = \operatorname{tg} \frac{4\pi}{16} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$$
3. $$\frac{1 + \operatorname{tg} 10^\circ \cdot \operatorname{tg} 55^\circ}{\operatorname{tg} 55^\circ — \operatorname{tg} 10^\circ} = \frac{1}{\operatorname{tg}(55^\circ — 10^\circ)} = \frac{1}{\operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1;$$
4. $$\frac{1-\mathrm{tg}{13}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{17}^{\circ }}{\mathrm{tg}{17}^{\circ }+\mathrm{tg}{13}^{\circ }}$$

1. $$\frac{\operatorname{tg} 29^\circ + \operatorname{tg} 31^\circ}{1 — \operatorname{tg} 29^\circ \cdot \operatorname{tg} 31^\circ} = \operatorname{tg}(29^\circ + 31^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3};$$
2. $$\frac{\operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} — \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}}{1 + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{16} \cdot \operatorname{tg} \frac{3\pi}{16}} = \operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{16} — \frac{3\pi}{16}\right) = \operatorname{tg} \frac{4\pi}{16} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$$
3. $$\frac{1 + \operatorname{tg} 10^\circ \cdot \operatorname{tg} 55^\circ}{\operatorname{tg} 55^\circ — \operatorname{tg} 10^\circ} = \frac{1}{\operatorname{tg}(55^\circ — 10^\circ)} = \frac{1}{\operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1;$$
4. $$\frac{1-\mathrm{tg}{13}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{17}^{\circ }}{\mathrm{tg}{17}^{\circ }+\mathrm{tg}{13}^{\circ }}=\frac{1}{\mathrm{tg}({17}^{\circ }+{13}^{\circ })}=\frac{1}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}=1:\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

В решении используются формулы для тангенса суммы и разности углов:

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \tan \beta},$$ $$\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$$

1)

$$\frac{\tan 29^\circ + \tan 31^\circ}{1 — \tan 29^\circ \cdot \tan 31^\circ}$$

Шаг 1: Узнаём формулу тангенса суммы

Данное выражение совпадает с формулой:

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \tan \beta}.$$

Шаг 2: Определяем $\alpha$ и $\beta$

$$\alpha = 29^\circ, \quad \beta = 31^\circ$$

Шаг 3: Считаем сумму углов

$$29^\circ + 31^\circ = 60^\circ$$

Шаг 4: Подставляем и вычисляем

$$\frac{\tan 29^\circ + \tan 31^\circ}{1 — \tan 29^\circ \cdot \tan 31^\circ} = \tan 60^\circ$$

Шаг 5: Значение $\tan 60^\circ$

$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt{3}}$$

2)

$$\frac{\tan \frac{7\pi}{16} — \tan \frac{3\pi}{16}}{1 + \tan \frac{7\pi}{16} \cdot \tan \frac{3\pi}{16}}$$

Шаг 1: Узнаём формулу тангенса разности

Данное выражение совпадает с формулой:

$$\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$$

Шаг 2: Определяем $\alpha$ и $\beta$

$$\alpha = \frac{7\pi}{16}, \quad \beta = \frac{3\pi}{16}$$

Шаг 3: Считаем разность углов

$$\frac{7\pi}{16} — \frac{3\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Подставляем и вычисляем

$$\frac{\tan \frac{7\pi}{16} — \tan \frac{3\pi}{16}}{1 + \tan \frac{7\pi}{16} \cdot \tan \frac{3\pi}{16}} = \tan \frac{\pi}{4}$$

Шаг 5: Значение $\tan \frac{\pi}{4}$

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

3)

$$\frac{1 + \tan 10^\circ \cdot \tan 55^\circ}{\tan 55^\circ — \tan 10^\circ}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Используем формулу тангенса разности:

$$\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$$

Обратим эту формулу:

$$\frac{1 + \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha — \tan \beta} = \frac{1}{\tan(\alpha — \beta)}.$$

Шаг 2: Определяем $\alpha$ и $\beta$

$$\alpha = 55^\circ, \quad \beta = 10^\circ$$

Шаг 3: Считаем разность углов

$$55^\circ — 10^\circ = 45^\circ$$

Шаг 4: Подставляем и вычисляем

$$\frac{1 + \tan 10^\circ \cdot \tan 55^\circ}{\tan 55^\circ — \tan 10^\circ} = \frac{1}{\tan 45^\circ}$$

Шаг 5: Значение $\tan 45^\circ$

$$\tan 45^\circ = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

4)

$$\frac{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 17^\circ}{\tan 17^\circ + \tan 13^\circ}$$

Шаг 1: Используем формулу тангенса суммы

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \tan \beta}$$

Обратим её:

$$\frac{1 — \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)}.$$

Шаг 2: Определяем $\alpha$ и $\beta$

$$\alpha = 17^\circ, \quad \beta = 13^\circ$$

Шаг 3: Считаем сумму углов

$$17^\circ + 13^\circ = 30^\circ$$

Шаг 4: Подставляем и вычисляем

$$\frac{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 17^\circ}{\tan 17^\circ + \tan 13^\circ} = \frac{1}{\tan 30^\circ}$$

Шаг 5: Значение $\tan 30^\circ$

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 6: Итог

$$\frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt{3}}$$