ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 492 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. sin(a+b)/sin (a-b) = (tga+tgb)/(tga-tgb);
2. cos(a-b)/cos(a+b) = (ctga*ctgb+1)/(ctga*ctgb-1);
3. cos(пи/4+a) = корень 2/2 (cosa — sina);
4. cos(a+b)/cosasinb = ctgb-tga;
5. cosacosb = 1/2(cos(a+b) + cos(a-b));
6. sinasinb=1/2(cos(a-b) — cos(a+b)).

Доказать тождество:

1.

$$\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta} =$$ $$= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta};$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta + 1}{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta — 1};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta} =$$ $$= \frac{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1}{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — 1} = \frac{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta + 1}{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta — 1};$$

Тождество доказано.

3.

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a);$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a =$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a);$$

Тождество доказано.

4.

$$\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \operatorname{ctg} \beta — \operatorname{tg} a;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{ctg} \beta — \operatorname{tg} a;$$

Тождество доказано.

5.

$$\cos a \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta));$$

Преобразуем правую часть тождества:

$$\frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)) =$$ $$= \frac{1}{2} (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta + \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cos a \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \cos \beta;$$

Тождество доказано.

6.

$$\sin a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta));$$

Преобразуем правую часть тождества:

$$\frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)) =$$ $$= \frac{1}{2} (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta — (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)) =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \sin \beta;$$

Тождество доказано.

Задача: доказать шесть тригонометрических тождеств.

1)

$$\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\tan a + \tan \beta}{\tan a — \tan \beta}$$

Шаг 1: Разложим синусы суммы и разности по формулам:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta,$$ $$\sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta.$$

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

$$\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta}{\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta}.$$

Шаг 3: Делим числитель и знаменатель на $\cos a \cos \beta$:

$$= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\tan a + \tan \beta}{\tan a — \tan \beta}.$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cot a \cdot \cot \beta + 1}{\cot a \cdot \cot \beta — 1}$$

Шаг 1: Разложим косинусы суммы и разности:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta,$$ $$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.$$

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

$$\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}.$$

Шаг 3: Делим числитель и знаменатель на $\sin a \sin \beta$:

$$= \frac{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1}{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — 1} = \frac{\cot a \cdot \cot \beta + 1}{\cot a \cdot \cot \beta — 1}.$$

Тождество доказано.

3)

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a)$$

Шаг 1: Раскрываем по формуле косинуса суммы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \sin a.$$

Шаг 2: Подставляем значения:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

следовательно

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a).$$

Тождество доказано.

4)

$$\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \cot \beta — \tan a$$

Шаг 1: Раскрываем $\cos(a + \beta)$:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.$$

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

$$\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \sin \beta} = \frac{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}{\cos a \sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\sin a}{\cos a} = \cot \beta — \tan a.$$

Тождество доказано.

5)

$$\cos a \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta))$$

Шаг 1: Раскрываем суммы косинусов:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta,$$ $$\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta.$$

Шаг 2: Складываем:

$$\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = 2 \cos a \cos \beta.$$

Шаг 3: Делим на 2:

$$\frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)) = \cos a \cos \beta.$$

Тождество доказано.

6)

$$\sin a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))$$

Шаг 1: Раскрываем косинусы:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta,$$ $$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.$$

Шаг 2: Вычитаем:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = 2 \sin a \sin \beta.$$

Шаг 3: Делим на 2:

$$\frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)) = \sin a \sin \beta.$$

Тождество доказано.