ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 486 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. sin(a+пи/6) , если cosa=-3/5 и пи < a < 3 пи/2;
2. sin(пи/4-a) , если sina=корень 2/3 и пи/2 < a < пи.

Вычислить:

$\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right)$, если $\cos a = -\frac{3}{5}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка находится в III четверти:

$$\sin a = -\sqrt{1 — \cos^2 a} = -\sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$$

Значение выражения:

$$\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos a \cdot \sin \frac{\pi}{6};$$ $$\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} — \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10};$$

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

$\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\sin a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка находится во II четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = -\sqrt{\frac{9}{9} — \frac{2}{9}} = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3};$$

Значение выражения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a;$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} — \frac{2}{6} = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{14} + 2}{6}$.

Задача 1:

Вычислить

$$\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right)$$

если

$$\cos a = -\frac{3}{5}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1: Определяем четверть

Угол $a$ находится в диапазоне $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$, то есть во третьей четверти.
Во третьей четверти синус и косинус отрицательны.

Шаг 2: Находим $\sin a$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Из этого

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Знак синуса отрицательный в третьей четверти, значит

$$\sin a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$

Шаг 3: Записываем формулу синуса суммы углов

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = a, \quad \beta = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Подставляем известные значения

Известно, что

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Поэтому

$$\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos a \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Выполняем умножение

$$-\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10}, \quad -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{10}$$

Шаг 6: Складываем результаты

$$-\frac{4\sqrt{3}}{10} — \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}}$$

Задача 2:

Вычислить

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$$

если

$$\sin a = \frac{\sqrt{2}}{3}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Шаг 1: Определяем четверть

Угол $a$ находится во второй четверти $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi\right)$.
Во второй четверти синус положителен, косинус — отрицателен.

Шаг 2: Находим $\cos a$

Из основного тригонометрического тождества:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 — \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$

Во второй четверти косинус отрицателен, значит

$$\cos a = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Шаг 3: Записываем формулу синуса разности углов

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{\pi}{4}, \quad \beta = a$$

Шаг 4: Подставляем известные значения

Известно:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно,

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$$

Шаг 5: Выполняем умножение

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{14}}{6}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Складываем результаты

$$-\frac{\sqrt{14}}{6} — \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} — \frac{2}{6} = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{14} + 2}{6}}$$