ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 484 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. cos За cos а — sin а sin За;
2. cos 5b cos 2b + sin 5b sin 2b;
3. cos(пи/7 + a) * cos(5пи/14 — a) — sin(пи/7 + a)* sin(5пи/14 — a);
4. cos(7пи/5 + a) * cos(2пи/5 + a) + sin(7пи/5 + a)* sin(2пи/5 — a).

1. $\cos 3a \cdot \cos a — \sin a \cdot \sin 3a = \cos(3a + a) = \cos 4a$;
   Ответ: $\cos 4a$.
2. $\cos 5\beta \cdot \cos 2\beta + \sin 5\beta \cdot \sin 2\beta = \cos(5\beta — 2\beta) = \cos 3\beta$;
   Ответ: $\cos 3\beta$.
3. $\cos \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{5\pi}{14} — a \right) — \sin \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{5\pi}{14} — a \right) =$
   $= \cos \left( \frac{\pi}{7} + a + \frac{5\pi}{14} — a \right) = \cos \left( \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} \right) = \cos \frac{7\pi}{14} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$;
   Ответ: $0$.
4. $\cos \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{5} + a \right) + \sin \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{5} + a \right) =$
   $= \cos \left( \frac{7\pi}{5} + a — \frac{2\pi}{5} — a \right) = \cos \frac{5\pi}{5} = \cos \pi = -1$;
   Ответ: $-1$.

В этих примерах используется классическая формула косинуса суммы и разности углов:

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

1)

$$\cos 3a \cdot \cos a — \sin a \cdot \sin 3a$$

Шаг 1: Распознаём формулу косинуса суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 3a, \quad \beta = a$$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$\cos 3a \cdot \cos a — \sin a \cdot \sin 3a = \cos(3a + a) = \cos 4a$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 4a}$$

2)

$$\cos 5\beta \cdot \cos 2\beta + \sin 5\beta \cdot \sin 2\beta$$

Шаг 1: Распознаём формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 5\beta, \quad \beta = 2\beta$$

Шаг 2: Применяем формулу:

$$\cos 5\beta \cdot \cos 2\beta + \sin 5\beta \cdot \sin 2\beta = \cos(5\beta — 2\beta) = \cos 3\beta$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 3\beta}$$

3)

$$\cos \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{5\pi}{14} — a \right) — \sin \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{5\pi}{14} — a \right)$$

Шаг 1: Определяем формулу косинуса суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{\pi}{7} + a, \quad \beta = \frac{5\pi}{14} — a$$

Шаг 2: Складываем углы:

$$\left(\frac{\pi}{7} + a\right) + \left(\frac{5\pi}{14} — a\right) = \frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} + (a — a) = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\cos \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{5\pi}{14} — a \right) — \sin \left( \frac{\pi}{7} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{5\pi}{14} — a \right) = \cos \frac{\pi}{2}$$

Шаг 4: Значение косинуса $\frac{\pi}{2}$:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

4)

$$\cos \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{5} + a \right) + \sin \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{5} + a \right)$$

Шаг 1: Распознаём формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{7\pi}{5} + a, \quad \beta = \frac{2\pi}{5} + a$$

Шаг 2: Вычитаем углы:

$$\left(\frac{7\pi}{5} + a\right) — \left(\frac{2\pi}{5} + a\right) = \frac{7\pi}{5} — \frac{2\pi}{5} + (a — a) = \frac{5\pi}{5} = \pi$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\cos \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{5} + a \right) + \sin \left( \frac{7\pi}{5} + a \right) \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{5} + a \right) = \cos \pi$$

Шаг 4: Значение косинуса $\pi$:

$$\cos \pi = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$