ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 483 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. cos(пи/3 + a), если sina=1/корень 3 и 0 < a < пи/2;
2. cos(a- пи/4), если cosa=-1/3 и пи/2 < a < пи.

Вычислить:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$, если $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$;

Точка находится в I четверти:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{3} — \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}};$$

Значение выражения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin a;$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} — \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6}} — \frac{1}{2}$.

$\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$, если $\cos a = -\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка находится во II четверти:

$$\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{9} — \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3};$$

Значение выражения:

$$\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \cos a \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin a \cdot \sin \frac{\pi}{4};$$ $$\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4 — \sqrt{2}}{6};$$

Ответ: $\frac{4 — \sqrt{2}}{6}$.

Задача 1:

Вычислить

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)$$

если

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 1: Определяем четверть

Так как $0 < a < \frac{\pi}{2}$, угол $a$ находится в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Шаг 2: Вычисляем $\cos a$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Отсюда:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a}$$

Подставляем:

$$\cos a = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Шаг 3: Применяем формулу косинуса суммы

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta$$

В нашем случае:

$$\alpha = \frac{\pi}{3}, \quad \beta = a$$

Шаг 4: Подставляем значения

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

Вторая часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$

Первая часть:

$$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \quad \text{(поскольку } \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{, и } \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}} \text{)}$$

(Примечание: на самом деле $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ неверно, давайте перепроверим)

Детальный расчет:

$$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Тогда:

$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

Поэтому:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{\sqrt{6}}{6} — \frac{1}{2}$$

Итог:

$$\boxed{\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{\sqrt{6}}{6} — \frac{1}{2}}$$

Задача 2:

Вычислить

$$\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$$

если

$$\cos a = -\frac{1}{3}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Шаг 1: Определяем четверть

Так как $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, угол $a$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Шаг 2: Вычисляем $\sin a$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

Тогда

$$\sin a = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Синус положителен во второй четверти, поэтому знак «плюс».

Шаг 3: Используем формулу косинуса разности

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

В нашем случае:

$$\alpha = a, \quad \beta = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Подставляем известные значения

$$\cos a = -\frac{1}{3}, \quad \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ $$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Подставляем в формулу:

$$\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6: Вычисляем произведения

$$-\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$$ $$\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 7: Складываем

$$-\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 — \sqrt{2}}{6}$$

Итог:

$$\boxed{\cos\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{4 — \sqrt{2}}{6}}$$