ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 482 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить, не пользуясь таблицами:

1. cos 57°30′ cos 27°30′ + sin 57°30′ sin 27°30′;
2. cos 19°30′ cos 25°30′ — sin 19°30′ sin 25°30′;
3. cos 7пи/9* cos 11пи/9 — sin 7пи/9* sin 11пи/9*;
4. cos 8пи/7* cos пи/7* + sin 8пи/7* sin пи/7.

$\cos 57^\circ 30′ \cdot \cos 27^\circ 30′ + \sin 57^\circ 30′ \cdot \sin 27^\circ 30′ = \cos(57^\circ 30′ — 27^\circ 30′) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 19^\circ 30′ \cdot \cos 25^\circ 30′ — \sin 19^\circ 30′ \cdot \sin 25^\circ 30′ = \cos(19^\circ 30′ + 25^\circ 30′) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{7\pi}{9} \cdot \cos \frac{11\pi}{9} — \sin \frac{7\pi}{9} \cdot \sin \frac{11\pi}{9} = \cos\left(\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9}\right) = \cos \frac{18\pi}{9} = \cos 2\pi = 1$

$\cos \frac{8\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \cos\left(\frac{8\pi}{7} — \frac{\pi}{7}\right) = \cos \frac{7\pi}{7} = \cos \pi = -1$

В этих примерах используется формула косинуса суммы и разности углов:

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

1)

$$\cos 57^\circ 30′ \cdot \cos 27^\circ 30′ + \sin 57^\circ 30′ \cdot \sin 27^\circ 30′$$

Шаг 1: Определяем, что это по формуле

Это выражение совпадает с формулой косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 57^\circ 30′, \quad \beta = 27^\circ 30′$$

Шаг 2: Вычисляем разность углов

$$57^\circ 30′ — 27^\circ 30′ = 30^\circ$$

Шаг 3: Подставляем

$$\cos 57^\circ 30′ \cdot \cos 27^\circ 30′ + \sin 57^\circ 30′ \cdot \sin 27^\circ 30′ = \cos 30^\circ$$

Шаг 4: Значение косинуса 30°

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

2)

$$\cos 19^\circ 30′ \cdot \cos 25^\circ 30′ — \sin 19^\circ 30′ \cdot \sin 25^\circ 30′$$

Шаг 1: Определяем формулу

Это выражение совпадает с формулой косинуса суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 19^\circ 30′, \quad \beta = 25^\circ 30′$$

Шаг 2: Вычисляем сумму углов

$$19^\circ 30′ + 25^\circ 30′ = 45^\circ$$

Шаг 3: Подставляем

$$\cos 19^\circ 30′ \cdot \cos 25^\circ 30′ — \sin 19^\circ 30′ \cdot \sin 25^\circ 30′ = \cos 45^\circ$$

Шаг 4: Значение косинуса 45°

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

3)

$$\cos \frac{7\pi}{9} \cdot \cos \frac{11\pi}{9} — \sin \frac{7\pi}{9} \cdot \sin \frac{11\pi}{9}$$

Шаг 1: Определяем формулу

Это выражение совпадает с формулой косинуса суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{7\pi}{9}, \quad \beta = \frac{11\pi}{9}$$

Шаг 2: Вычисляем сумму углов

$$\frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} = 2\pi$$

Шаг 3: Подставляем

$$\cos \frac{7\pi}{9} \cdot \cos \frac{11\pi}{9} — \sin \frac{7\pi}{9} \cdot \sin \frac{11\pi}{9} = \cos 2\pi$$

Шаг 4: Значение косинуса $2\pi$

$$\cos 2\pi = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

4)

$$\cos \frac{8\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \cdot \sin \frac{\pi}{7}$$

Шаг 1: Определяем формулу

Это выражение совпадает с формулой косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{8\pi}{7}, \quad \beta = \frac{\pi}{7}$$

Шаг 2: Вычисляем разность углов

$$\frac{8\pi}{7} — \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi$$

Шаг 3: Подставляем

$$\cos \frac{8\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \cos \pi$$

Шаг 4: Значение косинуса $\pi$

$$\cos \pi = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$