ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 480 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. sin (-х) = 1;
2. cos(-2x) =0;
3. cos (-2х) =1;
4. sin(-2x) = 0;
5. cos2 (-х) + sin (-х) = 2 — sin2x;
6. 1-sin2(-x) + cos(4пи — x) cos(x-2пи).

$\sin(-x) = 1$;
$-\sin x = 1$;
$\sin x = -1$;

Искомая точка на окружности:
$(0; -1)$;

Значит $x$ принимает значение:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

$\cos(-2x) = 0$;
$\cos 2x = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(0; 1)$ и $(0; -1)$;

Значит $x$ принимает значения:
$2x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $2x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

$\cos(-2x) = 1$;
$\cos 2x = 1$;

Искомая точка на окружности:
$(1; 0)$;

Значит $x$ принимает значение:
$2x = 0 + 2\pi k$, отсюда $x = \pi k$;

Ответ: $x = \pi k$.

$\sin(-2x) = 0$;
$\sin 2x = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(1; 0)$ и $(-1; 0)$;

Значит $x$ принимает значения:
$2x_1 = 0 + 2\pi k$ и $2x_2 = \pi + 2\pi k$;
$2x = \pi k$, отсюда $x = \frac{\pi k}{2}$;

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$.

$\cos^2(-x) + \sin(-x) = 2 — \sin^2 x$;
$\cos^2 x + \sin^2 x — \sin x = 2$;
$1 — \sin x = 2$;
$-\sin x = 1$;
$\sin x = -1$;

Искомая точка на окружности:
$(0; -1)$;

Значит $x$ принимает значение:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

$1 — \sin^2(-x) + \cos(4\pi — x) = \cos(x — 2\pi)$;
$1 — (-\sin x)^2 + \cos(-x) = \cos x$;
$1 — \sin^2 x + \cos x = \cos x$;
$1 — \sin^2 x = 0$;
$\sin^2 x = 1$;
$\sin x = \pm 1$;

Искомые точки на окружности:
$(0; -1)$ и $(0; 1)$;

Значит $x$ принимает значения:
$x_1 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ и $x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

1)

$$\sin(-x) = 1$$

Шаг 1: Используем свойство синуса нечётной функции:

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$-\sin x = 1$$

Шаг 2: Переносим знак минус:

$$\sin x = -1$$

Шаг 3: Определяем значения $x$, при которых $\sin x = -1$ на тригонометрической окружности

Синус равен $-1$ в точке:

$$(0; -1)$$

Это соответствует углу:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$

2)

$$\cos(-2x) = 0$$

Шаг 1: Косинус — чётная функция:

$$\cos(-2x) = \cos 2x$$

Уравнение упрощается:

$$\cos 2x = 0$$

Шаг 2: Найдём все $2x$, при которых $\cos 2x = 0$

Значение $\cos \theta = 0$ достигается при углах:

$$\theta = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Значит:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

Шаг 3: Находим $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}}$$

3)

$$\cos(-2x) = 1$$

Шаг 1: Используем чётность косинуса:

$$\cos(-2x) = \cos 2x$$

Уравнение становится:

$$\cos 2x = 1$$

Шаг 2: Находим все $2x$, при которых $\cos 2x = 1$

$$\cos \theta = 1 \quad \Longrightarrow \quad \theta = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Значит:

$$2x = 2\pi k$$

Шаг 3: Найдём $x$:

$$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi k}$$

4)

$$\sin(-2x) = 0$$

Шаг 1: Синус — нечётная функция:

$$\sin(-2x) = -\sin 2x$$

Уравнение перепишем:

$$-\sin 2x = 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin 2x = 0$$

Шаг 2: Находим все $2x$, при которых $\sin 2x = 0$

Синус равен нулю при углах:

$$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Найдём $x$:

$$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi k}{2}}$$

5)

$$\cos^2(-x) + \sin(-x) = 2 — \sin^2 x$$

Шаг 1: Используем свойства чётности/нечётности

$$\cos^2(-x) = \cos^2 x, \quad \sin(-x) = -\sin x$$

Подставляем:

$$\cos^2 x — \sin x = 2 — \sin^2 x$$

Шаг 2: Переносим все слагаемые в одну сторону

$$\cos^2 x + \sin^2 x — \sin x = 2$$

Шаг 3: Используем основное тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Тогда:

$$1 — \sin x = 2$$

Шаг 4: Решаем уравнение:

$$-\sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -1$$

Шаг 5: Находим $x$, где $\sin x = -1$

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$

6)

$$1 — \sin^2(-x) + \cos(4\pi — x) = \cos(x — 2\pi)$$

Шаг 1: Используем свойства функций

• $\sin^2(-x) = \sin^2 x$
• $\cos(4\pi — x) = \cos(-x) = \cos x$ (период $2\pi$, а $4\pi = 2 \times 2\pi$)
• $\cos(x — 2\pi) = \cos x$

Подставляем:

$$1 — \sin^2 x + \cos x = \cos x$$

Шаг 2: Сокращаем $\cos x$ с обеих сторон:

$$1 — \sin^2 x = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение:

$$\sin^2 x = 1$$

Шаг 4: Следовательно:

$$\sin x = \pm 1$$

Шаг 5: Находим значения $x$ для $\sin x = 1$ и $\sin x = -1$:

$$\sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$ $$\sin x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 6: Объединяем решения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi k}$$