ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 479 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. $$\cos a\cdot \sin (6\pi -a)\cdot (1+{\mathrm{ctg}}^2(-a))=\mathrm{ctg}(-a)$$
2. $$\frac{1 — \sin^2(-a)}{\cos(4\pi — a)} \cdot \frac{\sin(a — 2\pi)}{1 — \cos^2(-a)} = \operatorname{ctg} a$$

Доказать тождество:

1.

$$\cos a \cdot \sin(6\pi — a) \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2(-a)) = \operatorname{ctg}(-a);$$ $$\cos a \cdot \sin(-a) \cdot (1 + (-\operatorname{ctg} a)^2) = -\operatorname{ctg} a;$$ $$\cos a \cdot (-\sin a) \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 a) = -\operatorname{ctg} a;$$ $$-\cos a \cdot \sin a \cdot \left(\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\right) = -\operatorname{ctg} a;$$ $$-\cos a \cdot \sin a \cdot \frac{1}{\sin^2 a} = -\operatorname{ctg} a;$$ $$-\frac{\cos a}{\sin a} = -\operatorname{ctg} a;$$ $$-\operatorname{ctg} a = -\operatorname{ctg} a;$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{1 — \sin^2(-a)}{\cos(4\pi — a)} \cdot \frac{\sin(a — 2\pi)}{1 — \cos^2(-a)} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{1 — (-\sin a)^2}{\cos(-a)} \cdot \frac{\sin a}{1 — \cos^2 a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{1 — \sin^2 a}{\cos a} \cdot \frac{\sin a}{\sin^2 a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{\cos^2 a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sin a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\operatorname{ctg} a = \operatorname{ctg} a;$$

Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

$$\cos a \cdot \sin(6\pi — a) \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2(-a)) = \operatorname{ctg}(-a)$$

Шаг 1: Упростим $\sin(6\pi — a)$

Функция синуса обладает периодом $2\pi$, значит:

$$\sin(6\pi — a) = \sin(6\pi) \cos a — \cos(6\pi) \sin a$$

Но $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, поэтому

$$\sin(6\pi) = 0, \quad \cos(6\pi) = 1$$

Значит:

$$\sin(6\pi — a) = 0 \cdot \cos a — 1 \cdot \sin a = — \sin a$$

Шаг 2: Упростим $\operatorname{ctg}^2(-a)$

Котангенс — нечётная функция:

$$\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg} a$$

Значит:

$$\operatorname{ctg}^2(-a) = (-\operatorname{ctg} a)^2 = \operatorname{ctg}^2 a$$

Шаг 3: Подставляем упрощения в исходное выражение:

$$\cos a \cdot (-\sin a) \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 a) = -\cos a \cdot \sin a \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 a)$$

Шаг 4: Используем тригонометрическое тождество

Знаем, что:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 a = \csc^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}$$

Поэтому:

$$-\cos a \cdot \sin a \cdot \frac{1}{\sin^2 a} = -\cos a \cdot \frac{\sin a}{\sin^2 a} = -\frac{\cos a}{\sin a}$$

Шаг 5: Переходим к правой части тождества

$$\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg} a = -\frac{\cos a}{\sin a}$$

Шаг 6: Сравниваем левую и правую части

Левая часть:

$$-\frac{\cos a}{\sin a}$$

Правая часть:

$$-\frac{\cos a}{\sin a}$$

Обе части равны, значит тождество верно.

Ответ:

$$\boxed{\text{Тождество доказано}}$$

2) Доказать тождество:

$$\frac{1 — \sin^2(-a)}{\cos(4\pi — a)} \cdot \frac{\sin(a — 2\pi)}{1 — \cos^2(-a)} = \operatorname{ctg} a$$

Шаг 1: Упростим функции с отрицательными аргументами

• $\sin(-a) = -\sin a$, значит

$$\sin^2(-a) = (\sin(-a))^2 = (-\sin a)^2 = \sin^2 a$$

• $\cos(-a) = \cos a$, значит

$$\cos^2(-a) = (\cos(-a))^2 = (\cos a)^2 = \cos^2 a$$

Шаг 2: Упростим углы с добавлением полного периода

• $\cos(4\pi — a)$:

Период косинуса $2\pi$, следовательно:

$$\cos(4\pi — a) = \cos(-a) = \cos a$$

• $\sin(a — 2\pi)$:

Период синуса $2\pi$, значит:

$$\sin(a — 2\pi) = \sin a$$

Шаг 3: Подставляем упрощения в исходное выражение

$$\frac{1 — \sin^2 a}{\cos a} \cdot \frac{\sin a}{1 — \cos^2 a}$$

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow 1 — \sin^2 a = \cos^2 a, \quad 1 — \cos^2 a = \sin^2 a$$

Подставляем:

$$\frac{\cos^2 a}{\cos a} \cdot \frac{\sin a}{\sin^2 a}$$

Шаг 5: Упрощаем дробь

$$\frac{\cos^2 a}{\cos a} = \cos a, \quad \frac{\sin a}{\sin^2 a} = \frac{1}{\sin a}$$

Итого:

$$\cos a \cdot \frac{1}{\sin a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a$$

Шаг 6: Сравниваем с правой частью

Правая часть тождества — $\operatorname{ctg} a$.

Таким образом обе части равны.

Ответ:

$$\boxed{\text{Тождество доказано}}$$