ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 477 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. $$\frac{2-{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})+{\cos }^2(-\frac{\pi }{3})}{2\cos (-\frac{\pi }{3})+\sin (-\frac{\pi }{6})}$$
2. $$\sqrt{3}\sin (-\frac{\pi }{3})-2\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})+4\cos (-\frac{3\pi }{2})$$

1.

$$\frac{2-{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})+{\cos }^2(-\frac{\pi }{3})}{2\cos (-\frac{\pi }{3})+\sin (-\frac{\pi }{6})}=\frac{2-{(-\sin \frac{\pi }{6})}^2+{\cos }^2\frac{\pi }{3}}{2\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{6}}=$$$$=\frac{2-{(-\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{1-\frac{1}{2}}=2:\frac{1}{2}=2\cdot 2=4;$$

Ответ: 4.

2.

$$\sqrt{3}\sin (-\frac{\pi }{3})-2ctg(-\frac{\pi }{4})+4\cos (-\frac{3\pi }{2})=$$$$=-\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3}+2ctg\frac{\pi }{4}+4\cos \frac{3\pi }{2}=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot 1+4\cdot 0=-\frac{3}{2}+2=$$$$=-1,5+2=0,5;$$

Ответ: 0,5.

1)

$$\frac{2-{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})+{\cos }^2(-\frac{\pi }{3})}{2\cos (-\frac{\pi }{3})+\sin (-\frac{\pi }{6})}$$

Шаг 1: Используем свойства чётности/нечётности тригонометрических функций

• $\sin (-x)=-\sin x$, но ${\sin }^2(-x)=(\sin (-x){)}^2={\sin }^{2}x$ — квадраты всегда положительны, поэтому ${\sin }^2(-x)={\sin }^{2}x$.
• $\cos (-x)=\cos x$, значит ${\cos }^2(-x)={\cos }^{2}x$.

Применяем:

$${\sin }^2(-\frac{\pi }{6})={\sin }^2\frac{\pi }{6},{\cos }^2(-\frac{\pi }{3})={\cos }^2\frac{\pi }{3}$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

• $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
  $\Rightarrow {\sin }^2\frac{\pi }{6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$
• $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
  $\Rightarrow {\cos }^2\frac{\pi }{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Шаг 3: Упростим числитель

$$2-{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})+{\cos }^2(-\frac{\pi }{3})=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

Используем свойства четности/нечетности:

• $\cos (-x)=\cos x$, значит
  $2\cos (-\frac{\pi }{3})=2\cos \frac{\pi }{3}=2\times \frac{1}{2}=1$
• $\sin (-x)=-\sin x$, значит
  $\sin (-\frac{\pi }{6})=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$

Подставляем:

$$2\cos (-\frac{\pi }{3})+\sin (-\frac{\pi }{6})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Делим числитель на знаменатель

$$\frac{2}{\frac{1}{2}}=2\times 2=4$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 4}}$$

2)

$$\sqrt{3}\sin (-\frac{\pi }{3})-2\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})+4\cos (-\frac{3\pi }{2})$$

Шаг 1: Используем свойства чётности/нечётности

• $\sin (-x)=-\sin x$
• $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$
• $\cos (-x)=\cos x$

Применяем:

$$\sqrt{3}\sin (-\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\cdot (-\sin \frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3}$$$$-2\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})=-2\cdot (-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4})=+2\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}$$$$4\cos (-\frac{3\pi }{2})=4\cos \frac{3\pi }{2}$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$
• $\cos \frac{3\pi }{2}=0$

Шаг 3: Считаем каждое слагаемое

$$-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}=-1,5$$$$2\cdot 1=2$$$$4\cdot 0=0$$

Шаг 4: Складываем

$$-1,5+2+0=0,5$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0,5}}$$