ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 472 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения cos3 а — sin3 а, если cos а -sin а = 0,2.

Найти значение выражения $\cos^3 a — \sin^3 a$, если $\cos a — \sin a = 0.2$.

$$\cos^3 a — \sin^3 a = (\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) =$$ $$= 0.2 \left( 1 + \cos a \cdot \sin a \right) = 0.2 \left( 1 — \frac{1}{2} (\cos a — \sin a)^2 + \frac{1}{2} (\cos^2 a + \sin^2 a) \right) =$$ $$= 0.2 \left( 1 — \frac{1}{2} \cdot 0.2^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{1}{5} \left( 1 — \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^2 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{5} \left( 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} + \frac{1}{2} \right) =$$ $$= \frac{1}{5} \left( \frac{50}{50} — \frac{1}{50} + \frac{25}{50} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{74}{50} = \frac{74}{250} = \frac{37}{125}.$$

Ответ: $\frac{37}{125}$.

Дано:

$$\cos a — \sin a = 0{,}2$$

Найти:

$$\cos^3 a — \sin^3 a$$

Решение:

Шаг 1: Используем формулу разности кубов

$$\cos^3 a — \sin^3 a = (\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a)$$

Шаг 2: Подставим известное значение

Из условия:

$$\cos a — \sin a = 0{,}2$$

Значит:

$$\cos^3 a — \sin^3 a = 0{,}2 \cdot (\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a)$$

Шаг 3: Используем тригонометрическое тождество

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Поэтому:

$$\cos^2 a + \sin^2 a + \cos a \cdot \sin a = 1 + \cos a \cdot \sin a$$

Подставим это в выражение:

$$\cos^3 a — \sin^3 a = 0{,}2 \cdot \left(1 + \cos a \cdot \sin a \right)$$

Шаг 4: Выразим $\cos a \cdot \sin a$ через $\cos a — \sin a$

Вспомним тождество:

$$(\cos a — \sin a)^2 = \cos^2 a — 2 \cos a \sin a + \sin^2 a$$

Подставим $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$:

$$(\cos a — \sin a)^2 = 1 — 2 \cos a \sin a$$

Подставим значение из условия:

$$0{,}2^2 = 1 — 2 \cos a \sin a \Rightarrow 0{,}04 = 1 — 2 \cos a \sin a$$

Решим уравнение:

$$2 \cos a \sin a = 1 — 0{,}04 = 0{,}96 \Rightarrow \cos a \cdot \sin a = \frac{0{,}96}{2} = 0{,}48$$

Шаг 5: Подставим это значение обратно

$$\cos^3 a — \sin^3 a = 0{,}2 \cdot (1 + 0{,}48) = 0{,}2 \cdot 1{,}48$$

Умножим:

$$0{,}2 \cdot 1{,}48 = \frac{2}{10} \cdot \frac{148}{100} = \frac{296}{1000} = \frac{37}{125}$$

Ответ:

$$\cos^3 a — \sin^3 a = \boxed{\frac{37}{125}}$$