ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 471 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения sin a cos а, если sin а — cos а = 0,6.

Найти значение выражения $\sin a \cdot \cos a$, если $\sin a — \cos a = 0.6$.

$$\sin a \cdot \cos a = -\frac{1}{2} \sin^2 a + \sin a \cdot \cos a — \frac{1}{2} \cos^2 a + \frac{1}{2} \cos^2 a + \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= -\frac{1}{2} (\sin^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a) + \frac{1}{2} (\cos^2 a + \sin^2 a) =$$ $$= -\frac{1}{2} (\sin a — \cos a)^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \cdot 0.6^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{6}{10} \right)^2 + \frac{1}{2} =$$ $$= -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{25} + \frac{1}{2} = -\frac{9}{50} + \frac{25}{50} = \frac{16}{50} = \frac{8}{25};$$

Ответ: $\frac{8}{25}$.

Дано:

$$\sin a — \cos a = 0{,}6$$

Найти:

$$\sin a \cdot \cos a = ?$$

Решение:

Мы будем использовать идентичность:

$$(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2\sin a \cos a + \cos^2 a$$

Также используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Шаг 1. Возведем данное уравнение в квадрат:

$$(\sin a — \cos a)^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36$$

Шаг 2. Распишем левую часть по формуле квадрата разности:

$$(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2\sin a \cos a + \cos^2 a$$

Подставим тождество $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$\sin^2 a — 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 1 — 2\sin a \cos a$$

Теперь приравняем:

$$1 — 2\sin a \cos a = 0{,}36$$

Шаг 3. Решим уравнение:

$$1 — 2\sin a \cos a = 0{,}36$$ $$-2\sin a \cos a = 0{,}36 — 1 = -0{,}64$$ $$\sin a \cos a = \frac{0{,}64}{2} = 0{,}32$$

Ответ:

$$\sin a \cdot \cos a = \boxed{\frac{8}{25}}$$

(Пояснение: $0{,}32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$)