ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 467 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение и найти его значение:

1. (sin2a — 1)/(1-cos2a) при a=пи/4;
2. cos2a + ctg2a + sin2a при a=пи/6;
3. 1/cos2a — 1при a=пи/3;
4. cos2 а + tg2 a ctg2 а0 + sin2 а при a=пи/3.

1.

$$\frac{\sin^2 a — 1}{1 — \cos^2 a} = \frac{\sin^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a)}{(\sin^2 a + \cos^2 a) — \cos^2 a} = \frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a} = -\ctg^2 a;$$

Если $a = \frac{\pi}{4}$, тогда:

$$-\ctg^2 a = -\ctg^2 \frac{\pi}{4} = -1^2 = -1;$$

Ответ: $-1$.

2.

$$\cos^2 a + \ctg^2 a + \sin^2 a = 1 + \ctg^2 a;$$

Если $a = \frac{\pi}{6}$, тогда:

$$1 + \ctg^2 a = 1 + \ctg^2 \frac{\pi}{6} = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4;$$

Ответ: $4$.

3.

$$\frac{1}{\cos^2 a} — 1 = \frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a;$$

Если $a = \frac{\pi}{3}$, тогда:

$$\tg^2 a = \tg^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3;$$

Ответ: $3$.

4.

$$\cos^2 a + \tg^2 a \cdot \ctg^2 a + \sin^2 a = 1 + \tg^2 a \cdot \frac{1}{\tg^2 a} = 1 + 1 = 2;$$

Значение постоянно при любом $a$;

Ответ: $2$.

1)

$$\frac{\sin^2 a — 1}{1 — \cos^2 a}$$

Шаг 1: Заметим:

• $\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow 1 — \cos^2 a = \sin^2 a$

Шаг 2: Преобразуем числитель:

$$\sin^2 a — 1 = — (1 — \sin^2 a) = — \cos^2 a$$

Шаг 3: Подставим:

$$\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}$$

Шаг 4: Это определение:

$$-\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = -\ctg^2 a$$

Проверка для $a = \frac{\pi}{4}$:

$$\ctg \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\tg \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow \ctg^2 \frac{\pi}{4} = 1$$ $$— \ctg^2 \frac{\pi}{4} = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

2)

$$\cos^2 a + \ctg^2 a + \sin^2 a$$

Шаг 1: Группируем:

$$\cos^2 a + \sin^2 a + \ctg^2 a$$

Шаг 2: Используем:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$ $$1 + \ctg^2 a$$

Проверка для $a = \frac{\pi}{6}$:

$$\ctg \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \ctg^2 \frac{\pi}{6} = 3$$ $$1 + 3 = 4$$

Ответ: $\boxed{4}$

3)

$$\frac{1}{\cos^2 a} — 1$$

Шаг 1: Представим в виде одной дроби:

$$= \frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$1 — \cos^2 a = \sin^2 a \Rightarrow \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a$$

Проверка для $a = \frac{\pi}{3}$:

$$\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \Rightarrow \tg^2 \frac{\pi}{3} = 3$$

Ответ: $\boxed{3}$

4)

$$\cos^2 a + \tg^2 a \cdot \ctg^2 a + \sin^2 a$$

Шаг 1: Сначала:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Шаг 2: Осталось:

$$1 + \tg^2 a \cdot \ctg^2 a$$

Шаг 3: Используем:

$$\tg^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}, \quad \ctg^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \Rightarrow \tg^2 a \cdot \ctg^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1$$

Шаг 4:

$$1 + 1 = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$ (значение действительно не зависит от $a$)

Итоговые ответы:

1. $-1$
2. $4$
3. $3$
4. $2$