ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 464 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что sin а + cos а = 1/2. Найти:

1. sin а * cos а;
2. sin3а + cos3а.

Найти значение выражения, если $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$:

1.

$$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{2} \cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \frac{1}{2} \sin^2 a — \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= \frac{1}{2} (\cos^2 a + 2 \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) — \frac{1}{2} (\cos^2 a + \sin^2 a) =$$ $$= \frac{1}{2} (\cos a + \sin a)^2 — \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 — \frac{1}{2} = \frac{1}{8} — \frac{4}{8} = -\frac{3}{8};$$

Ответ: $-\frac{3}{8}$.

2.

$$\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a — \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a) =$$ $$= \frac{1}{2} \left( 1 — \sin a \cdot \cos a \right) = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2} (\cos a + \sin a)^2 + \frac{1}{2} (\cos^2 a + \sin^2 a) \right) =$$ $$= \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{8} — \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16};$$

Ответ: $\frac{11}{16}$.

Дано:

$$\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$$

1) Найти:

$$\sin a \cdot \cos a$$

Шаг 1: Заметим структуру выражения

Используем тождество:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

А также:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Шаг 2: Выразим $\sin a \cdot \cos a$ через $(\sin a + \cos a)^2$

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = 1 + 2 \sin a \cos a$$

Тогда:

$$2 \sin a \cos a = (\sin a + \cos a)^2 — 1$$

Шаг 3: Подставим $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$

$$2 \sin a \cos a = \left( \frac{1}{2} \right)^2 — 1 = \frac{1}{4} — 1 = -\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow \sin a \cdot \cos a = \frac{-3}{4 \cdot 2} = -\frac{3}{8}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{3}{8}}$

2) Найти:

$$\sin^3 a + \cos^3 a$$

Шаг 1: Используем формулу суммы кубов

$$\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a — \sin a \cos a + \cos^2 a)$$

Шаг 2: Заметим, что:

• $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ — по условию
• $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ — по основному тригонометрическому тождеству
• $\sin a \cdot \cos a = -\frac{3}{8}$ — из первого пункта

Шаг 3: Вычислим скобку

$$\sin^2 a — \sin a \cos a + \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) — \sin a \cos a = 1 — \left( -\frac{3}{8} \right) = 1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$$

Шаг 4: Перемножим

$$\sin^3 a + \cos^3 a = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{11}{8} \right) = \frac{11}{16}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{11}{16}}$

Итоговые ответы:

1. $\sin a \cdot \cos a = -\dfrac{3}{8}$
2. $\sin^3 a + \cos^3 a = \dfrac{11}{16}$