ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 461 Алимов — Подробные Ответы

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1. sina=1/5 и tga=1/корень 24;
2. ctga=корень 7/3 и cosa=3/4?

Могут ли одновременно выполняться равенства:

$\sin a = \frac{1}{5}$ и $\operatorname{tg} a = \frac{1}{\sqrt{24}}$;

$\cos a = \frac{\sin a}{\operatorname{tg} a} = \frac{1}{5} : \frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$;

$\sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{24}}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} = 1$;

Ответ: могут.

$\operatorname{ctg} a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $\cos a = \frac{3}{4}$;

$\sin a = \frac{\cos a}{\operatorname{ctg} a} = \frac{3}{4} : \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{9}{4\sqrt{7}}$;

$\sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{9}{4\sqrt{7}} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{81}{112} + \frac{9}{16} = \frac{81 + 63}{112} = \frac{144}{112} \neq 1$;

Ответ: не могут.

Вопрос:

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin a = \dfrac{1}{5}$ и $\operatorname{tg} a = \dfrac{1}{\sqrt{24}}$?

Шаг 1: Вспомним определение тангенса через синус и косинус

$$\operatorname{tg} a = \dfrac{\sin a}{\cos a}$$

Отсюда выразим косинус:

$$\cos a = \dfrac{\sin a}{\operatorname{tg} a}$$

Шаг 2: Подставим значения $\sin a = \dfrac{1}{5}$, $\operatorname{tg} a = \dfrac{1}{\sqrt{24}}$

$$\cos a = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{\sqrt{24}}}$$

Это деление двух дробей, используем правило: делим, умножая на обратную:

$$\cos a = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{24}}{1} = \dfrac{\sqrt{24}}{5}$$

Шаг 3: Проверим основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставим:

$$\left( \dfrac{1}{5} \right)^2 + \left( \dfrac{\sqrt{24}}{5} \right)^2 = \dfrac{1}{25} + \dfrac{24}{25} = \dfrac{1 + 24}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$$

Вывод:

Равенства согласованы. Основное тождество выполняется.

Ответ: могут.

2) $\operatorname{ctg} a = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$ и $\cos a = \dfrac{3}{4}$?

Шаг 1: Вспомним определение котангенса

$$\operatorname{ctg} a = \dfrac{\cos a}{\sin a}$$

Выразим синус:

$$\sin a = \dfrac{\cos a}{\operatorname{ctg} a}$$

Шаг 2: Подставим значения $\cos a = \dfrac{3}{4}$, $\operatorname{ctg} a = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$

$$\sin a = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt{7}}{3}} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{9}{4\sqrt{7}}$$

Шаг 3: Проверим основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Посчитаем каждое слагаемое по отдельности:

• $\sin^2 a = \left( \dfrac{9}{4\sqrt{7}} \right)^2 = \dfrac{81}{16 \cdot 7} = \dfrac{81}{112}$
• $\cos^2 a = \left( \dfrac{3}{4} \right)^2 = \dfrac{9}{16}$

Теперь приведём дроби к общему знаменателю, чтобы сложить:

• $\dfrac{9}{16} = \dfrac{9 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \dfrac{63}{112}$

Теперь сложим:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \dfrac{81}{112} + \dfrac{63}{112} = \dfrac{144}{112} = \dfrac{36}{28} = \dfrac{9}{7} \neq 1$$

Вывод:

Основное тригонометрическое тождество нарушено. Значит, при указанных значениях синус и косинус не соответствуют реальному углу $a$.

Ответ: не могут.

Окончательный ответ:

1. Могут.
2. Не могут.